Bestimme den kürzesten Abstand zwischen den beiden Ästen einer Hyperbel!

Question

Ich hänge im Moment an einer Aufgabe fest:

Gegeben sei die Funktion k(x) = 36/x + x + 2. Stelle die Funktion mit einem geeigneten Funktionsplotter dar und erkenne ihr Symmetriezentrum. Beweisen sie, dass die Funktion tatsächlich symmetrisch ist und bestimmen sie mit dieser Erkenntnis den kürzesten Abstand zwischen den beiden Ästen der Funktion.

Die Funktion anzeigen zu lassen ist nun wirklich nicht mein Problem und ich erkenne auch die Punktsymmetrie um P(0|2). Beim mathematischen Beweis der Symmetrie scheitere ich aber schon. Hier könnte ich zum Beispiel sagen:

36/x₁ + x₁ + 2 = y₁ und 36/x₂ + x₂ + 2 = y₂  bei x₁ = -x₂ und y₁ -2 = -y₂ -2 und dann gleichsetzen oder so...

Geht das so in etwa? Besonders sicher bin ich mir ja nicht. Und wie bestimme ich den kürzesten Abstand zwischen den beiden Ästen? Ist der von Extrempunkt zu Exrempunkt?

Hoffentlich kann mir hier jemand helfen. :)

Answer 1

Mit dem kürzesten Abstand kann ich dir ein Stück weiterhelfen. Dieser geht durch den Punkt P(0|2) wegen der Punkt-Symmetrie.

Also können wir den kürzesten Abstand von diesem Punkt an die Hyperbel suchen.

Für den Abstand im Quadrat (die Formel wird dann etwas einfacher, da ohne Wurzel) gilt die Formel d² = (x-x₁)² + (y-y₂)²

Den Punkt P einsetzen: x² + (y-2)² = x² + y² - 4y + 4  

Und jetzt für y die Funktion k(x) einsetzen gibt  d² =  x² + 1296/x² + x² + 4 + 72 + 4x + 144/x + 4 - 4*36/x -4*x -8

d² =  1296/x² + 2x²  + 72

Diesen Term leiten wir ab: -2*1296/x³ + 4x = 0

Mit x³/2 multiplizieren:   1296 = 2x⁴

x₁₂=±5.04537849152

Meine Lösung scheint noch nicht zu stimmen. Der Lösungsweg sollte aber stimmen. Die Ableitungen k'(x) im Punkt x und -x müssten doch gleich hoch sein. Findet jemand den Fehler?

Comments

Meine Lösung x₁₂=±5.04537849152 scheint doch zu stimmen. Meine Überprüfung war vorhin falsch.

Der kürzeste Abstand beträgt: 26.3684187

Die beiden Punkte, zwischen denen der kürzeste Abstand liegt sind:

P(5.04537849152|14.1806212) und P2(-5.04537849152|-10.1806212)

Die Steigung in den Schnittpunkten beträgt: -0.41421356

Die Steigung der Verbindungsgeraden ist 2.41421356

 

Answer 2

x≠0 sonst ist die funktion nicht definiert,

Richtig ist das der kürzeste Abstand zwische den beiden Äsren eine gerade ist, um diese lineare Funktion bestimmen zu können  , bräuchte man die Extremwerte , die hier relativ sein müssten und nicht absolut.

Die Extrempunkte in die

Zweipunkteform einsetzen und die Lineare Gleichung bestimmen.

(Zur Kontrolle    -6/-10  und 6/14   . gleichung lautet  f(x)=2x+2 auf dieser Geraden liegt auch der  bereits gefunden Spiegelpunkt 0/2)

Answer 3

Bestimmung des Symmetriezentrums:

\(y = \frac{36}{x} + x + 2\)

\(y = \frac{36+x^2+2x}{x}    | \cdot x\)

\(y\cdot x =36+x^2+2x    \)

\(f(x,y)=-x^2-2x+x\cdot y-36\)

\(f_x(x,y)=-2x-2+ y\)     \(-2x-2+ y=0\)    \( y=2x+2\)

\(f_y(x,y)=x\)       \(x=0\)    \( y=2\)      \(Z(0|2)\)

\(f'(x)=-\frac{-2x-2+ y}{x}\)

\(\frac{2x+2- y}{x}=0\)

\(y=2x+2\)

\(Z(0|2)\):

\(2\green{=}2\)