Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit vorgegeben Umfang, wobei die Katheten im Verhältnis 2 : 3 zueinander stehen.

Question

:)

Ich muss ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren und weiß leider nicht wie ich vorgehen soll.

Aufgabe lautet:

Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit vorgegeben Umfang, wobei die Katheten im Verhältnis 2 : 3 zueinander stehen.

Wie gehe ich vor? Kann ich den Satz des Thales benutzen?

Comments

Für den Umfang ist kein Zahlenwert vorgegeben ?

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Nein, dass ist alles was ich habe.

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Dann muss man offenbar den Umfang selber festlegen.

Answer 1

Hier eine Möglichkeit, das mit zentrischer Streckung / 3. Strahlensatz zu lösen.

1. Gib dir eine Strecke vor mit der Länge u. Lege sie horizontal in die Seitenmitte

2. Zeichne (konstruiere) dann darüber ein rechtwinkliges Dreieck (Hilfsfigur) mit den Seiten a= 2 cm und b=3 cm.

3. Nun zeichnest du als Hilfslinie eine Parallele zur Geraden, die u enthält ca 5 cm unterhalb der Mitte .

4. Nimm die Seiten der Hilfsfigur der Reihe nach in den Zirkel und trage sie alle 3 nebeneinander (aneinander) auf der Hilfslinie ab.

5. Verbinde die Enden der gegebenen Strecke mit den Enden der Streckensumme auf der Hilfslinie. ---> 2 Geraden g und h

6. Wenn du Glück hast, schneiden sich g und h noch auf dem Zeichenblatt. -----> Punkt S. (Wenn Blatt zu klein: Gegebene Strecke etwas nach unten oder oben schieben.

7. Von S aus 2 Strahlen zeichnen. Sie sollen durch die vorhandenen Trennpunkte auf der Hilfslinie verlaufen.

8. Die (verlängerten) Strahlen schneiden die gegebene Strecke an 2 Stellen. Nun kannst du dort die Längen der Seiten des gesuchten Dreiecks sehen.

9. Konstruiere nun mit diesen 3 Abschnitten das gesuchte Dreieck.

Kontrolle: Wenn du genau gearbeitet hast, bekommst du ein rechtwinkliges Dreieck mit den richtigen Seitenverhältnissen.

Answer 2

Da der Umfang vorgegeben ist, wählen wir als Zahlenwert 30 LE.

Ein rechtwinkliges Dreieck besteht aus 2 Katheten (a und b) und einer Hypotenuse (c).

-> Umfang = a + b + c = 10    (1)

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

c² = a² + b²     (2)

Das Verhältnis der Katheten soll nach Aufgabenstellung 1:3 sein. -> a:b = 2:3 (3)

Aus (3) folgt a = (2/3)*b; dies in (2) eingesetzt, ergibt

c² = ((2/3)*b)² + b²  = (4/9)*b² + b² = (13/9)*b²  -> c = ((√(13))/3)*b ≈ 1,2*b    (2.1)

Aus (1) und (2.1) folgt 

10 LE = (2/3)*b + b + 1,2*b ≈ 2,87*b -> b ≈ 3,5 LE

Aus (3) folgt

a = (2/3)*b = (2/3)*3,47 LE ≈ 2,3 LE

Aus (2.1) folgt

c = 1,2*b ≈ 4,2 LE

Probe:

10 LE = 2,3 LE + 3,5 LE + 4,2 LE

10 LE = 10 LE -> ok

c² = a² + b²  

(4,2 LE)² = (2,3 LE)² + (3,5 LE)²

17,6 LE² = 17,6 LE² - > ok