Eigenwerte, Eigenräume, Vektorraumendomorphismus

Question

Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.

Bitte um Hilfe!!

Answer 1

a) ist reines Nachrechnen der Definition.

b) Es gibt nur zwei mögliche Euigenwerte:0,1. f ist injektiv also ist 1 einziger Eigenwert. Der Eigenraum zu 1 ist eindimensional also ist f nicht diagonalisierbar.

c) Sind die 4 Elemente des Körpers mit 4 Elementen gegeben durch 0,1,T,T+1 so sind 1,T,T+1 Eigenwerte.

Damit ist die Matrix diagonalisierbar.

Comments

Wie sieht man dass der Eigenwert zu 1 eindimensional ist?

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Gar nicht. Eigenwerte haben keine Dimension.

Wenn du stattdessen die Dimension des Eigenraums zu 1 meinst: z.B. indem man ihn ausrechnet.

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Ja sry, meinte Eigenraum.

Wie rechne ich ihn am Einfachsten aus?

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Einfach die Definiton hinschreiben und ausrechnen.

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Das hilft mir leider nicht ganz weiter..aber trotzdem danke!

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Du willst mir doch jetzt nicht ernsthaft sagen du kennst nicht die Definition eines Eigenraums?

Dann ist dir bei solchen Aufgaben auch kaum zu helfen.

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Es wäre glaube ich viel sinvoller dass du die Definition eines Eigenraums hinschreibst, es anhand eines Beispiels vorrechnest..und mich dann fragst ob ich es verstehe oder nicht. Sonst kommen wir nicht weiter.

Auch wenn ich mir die Definition angucke komme ich bei der Aufgabe nicht weiter.

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Das halte ich nicht für sinnvoll. Wir könnten drüber reden wenn du die Defintion hinschreibst, aber den nullten Schritt beim Bearbeiten von Übungsaufgaben (das Nachschlagen der Begrifflichkeiten) sollte in meinen Augen jeder Student können.

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Nicht nur in deinen Augen. Bin ein wenig erstaunt über das Ausmaß an Dreistigkeit obwohl man hier schon einiges gewohnt ist.

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@Gast jd134: Du hast schon recht. Ich sollte die Definition hier posten und dann erst fragen.

@Yakyu: Übertreibs bitte nicht. Ich seh hier kein einziges Wort, bei dem man sich denken könnte, dass ich frech war. Mein Fehler war nur, dass ich alles von Gast jd134 erwartet habe, anstatt auch selbst was beizutragen.

So.. :) jetzt zur Aufgabe. Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt..

Die Definitionen..:

Der Eigenraum zu einem Eigenwert ist die Menge aller Eigenvektoren zu diesem Eigenwert.

Der zu einem Eigenwert λi gehörende Eigenvektor xi ist die Lösung der Gleichung:

( A - λ_i E ) * x_i =0

A steht für die Matrix, aber was ist hier in dem Fall  die Matrix?

:)

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Du hast die Definition des Eigenraums zu einem Eigenwert einer Matrix erwischt, was du brauchst ist aber die Definition des Eigenraums zu einem Eigenwert einer linearen Abbildung. Der Unterschied ist nicht groß aber mitunter entscheidend.

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Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und φ:V → V eine lineare Abbildung. Zu λ ∈ K nennt man

 den Eigenraum von φ zum Wert λ.

Das ist das richtige oder?

und λ ist der Eigenwert?

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Das ist die passende Definition.

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Ich übertreibe nicht.
Mein Fehler war nur, dass ich alles von Gast jd134 erwartet habe, anstatt auch selbst was beizutragen.Ja und das ist ziemlich dreist. Aber da du es ja halbwegs eingesehen hast hat es sich für mich erledigt und ich störe nicht weiter.
Respekt an die Geduld des antwortenden Gastes.

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Meine Geduld ist hier aber langsam aufgebraucht mit den alteingesessenen(?) Mitgliedern des Forums die ungefragt ins Gespräch platzen. Ist das hier üblich?

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Also ist hier $$Eig_1(f)=\{ x\in \mathbb F_8| x^2=f(x)=1\cdot x \} =\{0,1\}$$ was daran liegt, dass Polynome vom Grad n in Körpern maximal n Nullstellen haben.