ich bin mit dieser Aufgabe beschäftigt und fast fertig, aber ein Fall fehlt mir noch. Es seien A,B zwei reelle, nilpotente 3x3 - Matrizen. Dann soll ich zeigen, dass sie genau dann ähnlich sind, wenn sie den gleichen Nilpotenzindex besitzen. Mein Beweis:
"Hinrichtung": Seinen also A und B ähnlich mit Index k und l. Es gibt eine invertierbare Matrix S, sodass S^-1AS=B gilt.
Angenommen, es ist k<l. Dann erhalten wir:
(S^-1AS)^k=S^-1A^kS=S^-10S=0=B^k => Widerspruch, da l = min{n∈ℕ|B^l=0}.
Angenommen, es ist l<k. Dann erhalten wir:
B^l=0=(S^-1AS)^l=S^-1A^lS => A^l=0 => Widerspruch wie oben. Also gilt k=l.
"Rückrichtung": Sei k der Nilpotenzindex von A und B.
Fall 1: k=1
Trivial, da A und B die Nullmatrix sind.
Fall 2: k=3
Es existieren invertierbare Matrizen S und R mit S^-1AS=J und R^-1BR=J, wobei J der Jordanblock der Größe 3 zum Eigenwert 0 ist. Nach Gleichsetzen erhalten wir eine invertierbare Matrix U:=ST-1, sodass U^-1AU=B gilt, also sind A und B ähnlich.
Fall 3: k=2
Hier fehlt mir der Ansatz, wie ich das zeigen kann. Könnte mir da jemand bitte weiterhelfen?
