Schnittpunkte von zwei Gleichungen berechnen

Question

Bei den folgenden zwei Gleichungen soll ich die Koordinaten sämtlicher Schnittpunkte berechnen:

y = tanx

y = 2 • cosx

Aus der Gleichung tanx = 2 • cosx erhielt ich den Schnittpunkt (0.895;1.25)

Wie kann ich nun die restlichen Schnittpunkte berechnen?

Comments

Formeller Hinweis: Gleichungen können keine Schnittpunkte haben, Funktionsgraphen hingegen schon.

Answer 1

Die x-Werte die du ermittelt hast musst du nun in deine Differenzfunktion einsetzen die du ermittelt hattest, also die tan(x) = 2•cos(x), also:

h(x) = 2•cos(x) - tan(x)

h( 0,895)

und 

h(1,25)

Answer 2

Aus der Gleichung tanx = 2 • cosx erhielt ich den Schnittpunkt (0.895;1.25)

Wie hast du das berechnet ?

Desweiteren tan und cos sind periodische Vorgänge und wiederholen sich.

Hier einmal der Graph.

~plot~ tan(x) ; 2 * cos(x) ~plot~

Answer 3

Du hast nicht richtig gerundet bei deinem Wert

x1 = 0.8959074812

y1 = tan(0.8959074812) = 1.249621067

ein anderer Punkt liegt bei 

x2 = pi - 0.8959074812 = 2.245685172

y2 = tan(2.245685172) = -1.249621068

Alle anderen x-Werte entstehen aus diesen Werten durch Addition eines vielfachen von 2 pi auf die x-Koordinate

Skizze:

Comments

Stimmt, x1 sollte 0.896 betragen. 

Für x2, hast du pi - x1 gerechnet, weil die Periodenlänge beim Tangens pi beträgt?

Und wie hast du herausgefunden, dass man für die restlichen immer 2pi addieren muss, und nicht mehr nur noch pi? Anhand der Skizze ist es ja gut ersichtlich, aber hast du dafür vielleicht auch eine Berechnung erstellt?

Answer 4

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"Schnittpunkte von zwei Gleichungen berechnen"

-> zur Sprache:  -> Gleichungen haben keine Schnittpunkte..

-> zur Aufgabe: ->

y = tanx

y = 2 • cosx

 tan x = 2* cos x

führt auf eine quadratische Gleichung :

sin x = 2* ( cos x )²

sin x = 2 - 2* ( sin x )²

sin² x + 1/2 sin x - 1 = 0

z²  + 1/2 z  - 1 = 0

 für sin x ergibt sich dann nur  -> sin x = ( sqrt(17) - 1 )/ 4 = 0,78077...

und damit hast du die beiden oben schon genannten Hauptlösungen

x1 = 0,8959 ..

x2 = 2,24568...

usw

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Comments

Wie hast du x2 berechnet?

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Wie hast du x2 berechnet?

-> es ist  sin x  = + 0,78077...

und jetzt schau mal im Einheitskreis:

für welche Punkte auf dem Kreis ist der Sin (dh. die Ordinate)= + 0,78..

-> es sind (im Grad- ..->.. Bogen- Mass) diese beiden Punkte  ->

im

I.Quadranten mit Mittelpunktswinkel 51,3° ...-> 0,8959 ..

und im

 II.Quadranten mit Mittelpunktswinkel (180 -51,3 )°= 128,7" . -> 2,24568...

ok?

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Okei, verstanden. Vielen Dank

Answer 5

Schnittpunkt zweir Funktionen bedeutet dass die den gleichen y Wert haben. 

Also $$y=y \Rightarrow \tan x =2 \cos x \Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x}=2\cos x \Rightarrow \sin x =2 \cos^2 x$$ 

Man hat $$\sin^2 x+\cos^2 x=1 \Rightarrow \cos^2 x=1-\sin^2 x$$ 

Wenn wir das einsetzen haben wir folgendes: 

$$\sin x =2 \cos^2 x \Rightarrow \sin x=2(1-\sin^2 x) \Rightarrow \sin x=2 -2\sin^2 x \Rightarrow 2\sin^2 x+\sin x-2=0 $$ 

Setze u=sinx und löse 2u² +u-2=0. 

Danache setze es wieder in sinx=u und finde das x. 

Dann finde das y=tanx oder y=2cosx (es ist das gleiche). 

Also hast du dann den Schnittpunkt P(x,y) gefunden.