Aufgabe:
Seien die Abbildungen f : Uρf (0) → C und g : Uρg (0) → C gegeben durch
\( f(z):=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(3 z)^{n} \quad \) und \( \quad g(z):=\sum \limits_{n=0}^{\infty} z^{n} . \)
Bestimmen Sie die Konvergenzradien ρf von f und ρg von g .
Bei dieser Aufgabe komme ich auf pf=1/3 und pf=1 (Sollte Stimmen)
JETZT kommt der Teil den ich nicht verstehe:
Schreiben Sie f · g als Potenzreihe und geben Sie deren Konvergenzradius an.
Ich bin mir ziemlich sicher. dass ich mit dem Cauchyprodukt arbeiten muss:
\( \left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}\right) \cdot\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}\right)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\sum \limits_{k+l=n} a_{k} b_{l}\right)\left(z-z_{0}\right)^{n} . \)
Aber damit komme ich nicht klar.
z0 ist immer 0 an=3^0 und bn=1.... aber was ist k und l?
Und die darauf folgende Frage ist mir auch noch ein Rätsel. Hier habe ich keinen Ansatz. Was hat diese Potenzreihe zu tun mit der Funktion.
\( h: \mathbb{C} \backslash\left\{1, \frac{1}{3}\right\} \rightarrow \mathbb{C}: z \mapsto \frac{1}{1-4 z+3 z^{2}} \) ?
