Potenzreihen. Konvergenzradius von ∑ n^5 z^n. r=lim( (n+1)^5 / n^5) = 1/0 = 0?

Question

Ich muss  den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen berechnen

 

∑ n⁵zⁿ  ;   ∑ ((2ⁿ+3ⁿ) / 6ⁿ) zⁿ  ;  ∑ (1+ (1/n))ⁿ zⁿ  

∑ n^√n zⁿ  ;  ∑ n! z^n!  ;  ∑ (2n über n) zⁿ

 

zu den ersten dreien hab ich etwas erechnet, bin mir aber nicht sicher ob das überhaupt richtig ist:

∑ n⁵zⁿ =  (n+1)⁵ / n⁵  = 1/0 = 0

∑ ((2ⁿ+3ⁿ)/6ⁿ) zⁿ  =  ((2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹)/ 6ⁿ⁺¹ ) / ((2ⁿ +3ⁿ)/6ⁿ) = 6/6 = 6

∑ (1+(1/n))ⁿzⁿ =  ( 1+(1/n+1))ⁿ⁺¹ / (1+(1/n))ⁿ = 1/1 = 1

 

sind die so richtig oder hab ich da was falsch gemacht? und wie gehen die restlichen drei? Ich hoffe mir kann jemand helfen

Comments

Die einzige Gleichheit die in deinen Rechnungen richtig ist ist die letzte. Welche Verfahren/Formeln zur Berechnung des Konvergenzradiuses kennst du denn?

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ok,danke,

also einmal die (einfache ) formel : r = lim | a_n / a_n+1 |

und dann gibt es noch die Cauchy-Hadamard formel:  r= 1/ lim sup ⁿ√ | a_n |  aber mit der komm ich nicht wirklich  klar.

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Allgemeine Anmerkung: Die Cauchy-Hadamard Formel ist die deutlich bessere, da diese immer angewendet werden kann. Bei der "einfachen" müssen irgendwann alle Folgenglieder nicht Null sein und es kann passieren, dass dieser Limes nicht existiert, was dann aber nichts aber Grenzwert aussagt. Bei der ersten Reihe ist $$a_n= n^5$$. Damit ist $$|\frac {a_n}{a_{n+1}|=|\frac {n^5}{(n+1)^5}|=|\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^5}|\rightarrow 1$$ Damit ist der Konvergenzradius also 1. Die 2. geht ähnlich. Die 3. geht extrem schnell mit Cauchy-Hadamard.

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Ich sitze auch an der Aufgabe,  ich kann leider die Formel in der Antwort nicht lesen. wie geht das mit den letzen drei potenzreihen? kann mir vielleicht jemand helfen

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|a_n /a_n+1|=

$$|\frac {n^5}{(n+1)^5}|=|\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^5}|\rightarrow 1 $$

Habe ich damit https://www.matheretter.de/rechner/latex umgewandelt. Musste den ersten Bruch aus der Darstellung werfen.

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∑ n⁵zⁿ =  (n+1)⁵ / n⁵  = 1/0 = 0? 

Darfst du keines Falls so schreiben.

∑ n⁵zⁿ  nicht einfach 'gleich'.

r= lim |  (n+1)⁵ / n⁵ | …
Dein Helfer hat hier den nicht a_n+1 / a_n gerechnet sondern umgekehrt und erst noch den Betrag genommen. Kontrolliere die Formel.

= 1/0 = 0? ist verkehrt. Mit 0 darfst du nicht so umgehen.

Einen Teil deiner Fragen findest du bestimmt bei den 'ähnlichen Fragen' oder hier: https://www.mathelounge.de/tag/konvergenzradius