Welche Punkte auf K haben vom Ursprung einen Abstand von 3?

Question

es ist das Schaubild K der Funktion h mit h(x)=1/4x²-2 gegeben. Welche Punkte auf K haben vom Ursprung einen Abstand von 3?

Answer 1

y= 1/4  * (3)² -2  =  9/4  - 2 = 0,25 bzw. 1/4 !

Comments

Ach soo, nur einsetzten.

Ich habs mir wieder komplizierter vorgestellt als es eigentlich ist.

Danke ;D

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mathe49, ich glaube deine Berechnung stimmt nicht.
Schau dir einmal meine Antwort an.

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Das gibt einen Punkt mit dem Abstand 3 von der y-Achse, aber nicht vom

Nullpunkt.

Answer 2

Den Abstand eines Punktes mit koordinaten (x,y) vom Ursprung ergibt sich mit Pythagoras:

$$\sqrt{x^2+y^2}$$.

Damit ist also (Pyth. wird quadriert) $$9=y^2+x^2=(1/4x^2-2)^2+x^2$$ zu lösen.

Das ist eine biquadratische Gleichung. Wei0t du bereits wie man die löst?

Comments

Nein, ich hab so eine Formel noch nie gesehen außer den Pythagoras.

Und wie kommt man auf die 9 da vorn?

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9=3².

Es gäbe auch noch einen zeichnerischen Ansatz:Kreis mit Radius 3 um den ursprung zeichnen und schauen wo der den Graphen schneidet.

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wie löst man denn die biquadratische Gleichung?

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Durch Substitution z=x² und Mitternachtsformel.

Habt ihr das jetzt bereits im Unterricht gemacht oder nicht?

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Wir sagen dazu p q Formel. Aber mit Substitution kann ich gerade nichts anfangen...

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Dann würd ich den geometrischen Ansatz machen.

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Man könnte auch \(x^2=\left(3^2-y^2\right)\) in die Parabelgleichung einsetzen und erstmal die möglichen \(y\)-Koordinaten berechnen...

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Hier mal meine Skizze; der Code ist ein wenig lang geraten:

~plot~1/4*x^2-2;sqrt(9-x^2);-sqrt(9-x^2); { -2*sqrt(sqrt(5)) | -2+sqrt(5) }; { +2*sqrt(sqrt(5)) | -2+sqrt(5) }; [[-6|6|-4|4]]~plot~

Answer 3

Manchmal verdeutlicht ein Bild den Sachverhalt.

Gegeben ist die Funktion. Es wird der Punkt gesucht
der einen Abstand von 3 zu ( 0 | 0 )  hat.
Eingezeichnet ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den
Seiten 3, x und f ( x ) = y
Es gilt der Pythagoras
3^2 = x^2 + ( f ( x ) )^2
Die Berechnung kann man sich einfacher machen indem
man x^2 durch a ersetzt.

Die letzte Glleichung ausmultiplizieren und dann mit der
pq-Formel berechnen. Zum Schluß a wieder zurückersetzen.

zur Kontrolle ( 2.99 | 0.235 )

Answer 4

~plot~0.25x^2-2~plot~

wenn du jetzt z.B. den Punkt P(2;-1) mit dem Nullpunkt verbindest,

kannst du diese Linie als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks

mit der 3. Ecke bei (2;0) denken.

wenn z die Länge der Hypotenuse ist, gilt nach Pythagoras

z^2 = 2^2 + 1^2    also  z=wurzel(5).

Es soll aber z=3 rauskommen und der Punkt auf der

Parabel liegen. Also hat der Punkt die Koordinaten ( x ;  f(x) ), also wäre die

Gleichung  z^2 = x^2 + f(x)^2   und weil z=3 ist, also

            9 = x^2 + ( 0,25x^2 - 2) ^2

Klammern auflösen und zusammenfassen gibt 

hier keine biquadratische Gleichung sondern nur

    9 = (1/16)x^4 + 4 

5 = (1/16)x^4

80 = x^4

x = 4. Wurzel(80) oder x= - 4.Wurzel(80)

also etwa

x=2,99 oder x=-2,99