e funktion ableitung

Question

Gegeben sind die reellen Funktionen f_a (x) = (x-a) e^-x mit x∈R und a∈R .

Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktionen f_a.

Berechnen Sie die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte in Abhängigkeit von a.

Bestimmen Sie den Term der Funktion h(x), auf der alle Extrempunkte der Funktionen f_a liegen.

Answer 1

f(x) = (x - a)·e^{-x}

f'(x) = - e^{-x}·(x - a - 1)

f''(x) = e^{-x}·(x - a - 2)

Nullstellen f(x) = 0

(x - a)·e^{-x} = 0

Satz vom Nullprodukt, e-Funktion wird nie 0

x = a

Das andere Funktioniert genau so.

Comments

Bei mir ist die 2. Ableitung = (x-a)e^-x

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Dann hast du etwas verkehrt gemacht benutze sonst

f'(x) = - e^-x·(x - a - 1) = e^-x·(- x + a + 1)

wenn dir das dann leichter fällt.

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Wieso eigentlich der Vorzeichenwechsel bei der besonderen Exponentialfunktion?

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- e^-x·(x - a - 1) = e^-x·(- x + a + 1)

Es ist " Geschmackssache "  ob man die linke Schreibweise
wählt oder die rechte.

Man braucht nicht umzuwandeln.

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Wenn ich aber nur f(x) = e^-x habe, muss ich doch das Vorzeichen wechseln, oder?

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Ja, Nach Kettenregel musst du bei der Ableitung noch mit -1 multiplizieren. Aber ich verstehe nicht ganz wo genau das Problem ist?

Bitte mal etwas detaillierter Beschreiben wo die Schwierigkeiten liegen?

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Hat sich schon erledigt, war gerade nur etwas verwirrt, weil die Exponentialfunktion ja einen Sonderfall darstellt.

Answer 2

Zur Kontrolle : Ableitungen und Nullstellen

Ortskurve der Extremstellen
x = a + 1
a = x - 1
f ( x ) = ( x - a ) * e^{-x}
ort ( x ) = ( x - ( x - 1 ) ) * e^{-x}
ort ( x ) = e^{-x}

Comments

Ja. auf die Ergebnisse kam ich auch.

Mit welchem Programm hast du das gerechnet? Das sieht in etwa so aus wie mein Casio Taschenrechner.

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Das Programm ist ein PC-Programm namens MuPad ( Uni Paderborn )
von 2007. Die Bedienungssprache ( Menues ) ist deutsch.

Das Programm wurde von SciFace übernommen.

Mir wird das Programm wahrscheinlich bis ans Lebensende
ausreichen.