Umkehrfunktion Ansatz checken

Question

habe Fragen zu ´ner Aufgabe:

Zeigen Sie, dass F im gegebenen De nitionsbereich lokal umkehrbar ist. Bestimmen Sie
anschließend das Urbild (x, y) eines beliebigen Punktes (u, v)∈ D. Folgern Sie aus Ihren
Ergebnissen eine Aussage uber die globale Umkehrbarkeit auf ganz D.

D := (0,∞) x(ℝ\{0}).

F : D → D mit
F(x, y) := (f₁(x, y); f₂(x, y)) = (x²; xy³)

Mein Ansatz:

Jacobimatrix: Df(x,y)=

2x	0
y3	3xy2

Jetzt habe ich gelesen, dass wenn ich einen Punkt aus dem Definitionsbereich in die Matrix einsetze und die Determinante berechne, und diese nicht 0 ergibt, dann ist die Matrix invertierbar:

det(Df(1,2))=  2*12-6*0=24 ≠0 ✓

Desweiteren soll f ja bijektiv auf R sein, um global umkehrbar zu sein, das sehe ich dann wohl am Urbild.

Habe aber Probleme das urbild zu bestimmen :(

Ist das soweit richtig und

lG

Comments

Ist das 3xy²  ?

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Ja,

meine partiellen ableitungen:

f₁'(x)= 2x ; f₁'(y)= 0

f₂'(x)= y³  ; f₂'(y)= 3xy²

Ist das falsch?

Answer 1

soweit richtig

mit  x^2 = u   und  xy^3 = v hast du

x =√u   da u > 0

also   y^3 *  √u   =  v

y^3 = v / √u     wieder weil u>0

und   zu jedem   v / √u   gibt es genau ein

y nämlich   3.Wurezl aus   v / √u      falls   v / √u    > 0

und    3.Wurzel aus    -  v / √u      falls   v / √u    < 0

Also wohl global umkehrbar.