Funktionsgleichung der Umkehrfunktion, umkehrbar.... f(x) = 2x^2 - 8x + 8.

Question

ich komme leider nicht mehr weiter. Vielleicht kann mir jemand von euch mit den Lösungen weiter helfen.

 f(x) = 2x^2 - 8x + 8.  

Scheitelform? Umkehrfunktion? 

Answer 1

a) Die Funktionsgleichung in Scheitelform f(x)=2·(x-2)². Scheitelpunkt S(2/0). Umkehrbar ist diese Funktion im Intervall [2;∞).

Answer 2

a)

f hat die Scheitelform   

f(x)  =  2 * ( x² - 4x + 4)   = 2 * ( x-2 )²  ,  S(2|-4)

Wenn man den Definitionsbereich so festlegt, dass er Teilmenge von  ] - ∞ ; 2 ]  oder von         [ 2 ; ∞ [ ist, ist die Funktion streng monoton und deshalb auch umkehrbar.

b)   

Die Funktionswerte einer nach oben geöffneten Parabel sind immer größer oder gleich dem y-Wert des Scheitelpunkts, hier also  immer ≥ -4

Sei  z.B.    f:  [ 2 ; ∞ [  →  [ -4 ; ∞ [   ;   f(x) =  2 * ( x-2 )² 

  Die Vorschrift für f ^-1(x) ergibt sich aus.

     y = 2 * ( x-2 )²   ⇔_D   x = √(y/2) + 2      zu  f ^-1(x) = √(x/2) + 2 

c)   

Definitinsbereich  →  Wertebereich 

f:  [ 2 ; ∞ [   →  [ -4 ; ∞ [   ;  f(x) = 2 * ( x-2 )²  

f ^-1:  [ -4 ; ∞ [  → [ 2 ; ∞ [  ; f ^-1(x)  = √(x/2) + 2 

Gruß Wolfgang

Answer 3

es kommen 2 " Umkehrfunktionen " heraus.
Es wurde gewählt
f ^{-1} ( x ) = √ ( x / 2 ) + 2

Der Definitions- und Wertebereich wurde bestimmt.
Es gilt
D ^{f-1} = W ^f
W ^{f-1} = D ^f

mfg Georg

Comments

Hallo Georg,

könntest du bitte mir nochmal etwas genau klären, wie du auf den Defintions-,Wertebereich kommst und wie ich den Defintionsbereich einschränken muss das er umkehrbar ist.

Wäre sehr nett, danke.

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f(x) = 2x² - 8x + 8. 

Hier der Graph

Für eine Funktion gilt.
y = f ( x )
Für einen x - Wert gibt es nur einen zugehörigen y-Wert
Wie der Graph zeigt stimmt dies.

Der Definitionsbereich unterliegt keiner Einschränkung.
Für alle x-Werte von -∞ bis +∞ existiert ein
berechenbarer y-Wert.
Der Tiefpunkt der Funktion liegt bei x = 2.
f ( 2 ) = 0
Alle anderen Funktionswerte liegen höher.
Der Wertebereich geht also von 0 bis +∞.

Die Umkehrfunktion ist
x = f ( y )
Ich wähle einen y-Wert und kann dann 2
x-Werte ablesen.
y = 20
x = ca -1
x = ca 5

Die Umkehrfunktion ist oben angeführt
y = ± √ ( x/2 ) + 2
Es giibt also 2 Umkehrfunktionen.

Grundsätzliches zum Def und Wertebereich
bei Funktion und Umkehrfunktion
Der Def-Bereich einer Funktion ist der Wertebereich
der Umkehrfunktion
Der Werte-Bereich einer Funktion ist der Def-Bereich
der Umkehrfunktion