Funktion umkehrbar? Umkehrfunktion durchfuhren → wie?

Question

sind a) y=2/3 √2x-1 und b) y=3ln(x-2/2)-2 umkehrbar?

Wie kann ich rechnerisch ermitteln, ob diese Funktionen umkehrbar sind?

Wie führe ich die Umkehrfunktion durch? Ich kriege es nicht hin die Funktionen nach x umzuformen.

Bitte um dringende Hilfe

Comments

Eine Funktion ist genau dann invertierbar, wenn sie bijektiv ist. Das wäre zuerst zu klären.

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Wie prüfe ich, ob eine Funktion bijektiv ist ?

Answer 1

y = 2/3·√(2·x - 1)

3/2·y = √(2·x - 1)

(3/2·y)^2 = 2·x - 1

(3/2·y)^2 + 1 = 2·x

1/2·((3/2·y)^2 + 1) = x

x = 1/2·((3/2·y)^2 + 1)

Du solltest jetzt für beide Funktionenen mind. noch die Definitionsmenge angeben für die sie umkehrbar sind.

Skizze

Leider hat der Plotter bei Wurzelfunktionen immer noch ein paar Schwierigkeiten die exekt zu skizzieren.

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Wie genau stelle ich jetzt fest, ob eine Funktion umkehrbar ist oder nicht? Und wie gebe ich den Definitions und wertebereich genau an?

Mit freundlichen Grüßen

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Eine Funktion ist umkehrbar wenn sie z.B. wie in diesem Fall streng monoton steigend ist.

Wie ist der Definitionsbereich der Wurzelfunktion? Also welche Werte darf man für x einsetzen? Wie ist dann der Wertebereich. Beides könntest du wenigstens ungefähr bereits aus der Zeichnung ablesen.

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Hier noch eine Skizze für die zweite Aufgabe:

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Also muss man zuerst immer die Monotonie prüfen, indem man die erste Ableitung bildet und schaut ob Sie größer oder kleiner als 0 ist. und dann führt man die Umkehrfunktion durch. stimmt das?

Der Definitionsbereich ist x∈ℝ und Wertebereich x≥1/2

Und vielen dank für Ihre Hilfe. Das weiß ich sehr zu schätzen!

Answer 2

f ( x ) = 3 * ln( (x-2 ) / 2) - 2
y = 3 * ln( (x-2 ) / 2) - 2
Def Bereich
( x - 2 ) / 2 > 0
x - 2 > 0
x > 2
D = x  > 2 oder 2 .. ∞

Umkehrfunktion
x = 3 * ln( (y-2 ) / 2) - 2 
( x - 2 ) / 3 = ln( (y-2 ) / 2)  | e hoch
e^ [( x - 2 ) / 3 ] = (y-2 ) / 2  | * 2
2 * e^ [( x - 2 ) / 3 ] = (y-2 )
f ^(-1) ( x ) = 2 * e^ [( x - 2 ) / 3 ] + 2
Def Bereich ∞ .. -∞ ( keine Einschränkungen )

Der Wertebereich der Funktion ist der Def-Bereich
der Umkehrfunktion und umgekehrt

f ( x )
D = x  > 2 oder 2 .. ∞
W = ∞ .. -∞

f ^(-1) ( x )
D = ∞ .. -∞
W = x  > 2 oder 2 .. ∞

Comments

Wieso bilden Sie die Umkehrfunktion wenn da schon nach x aufgelöst wurde. Ich dachte man muss die Funktion nach x umformen und dann x und y einfach tauschen Mit freundlichen Grüßen

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Es kommt dasselbe heraus.
Ich tausche schon zu Anfang x und y
und stelle dann nach y um. Das ist
für mich gewohnter.
Du rechnest die ganze Zeit
x = f ( y ) aus.
Ich rechne von Anfang an
y = f ( x )