Lineare Optimierung zeichnerisch: Bäcker von wöchentlich 1200kg Brötchen, 2400kg Graubrot und 800kg Weißbrot.

Question

Ich steh grad völlig auf dem Schlauch und weiß gar nicht, wie ich diese Aufgabe angehen soll: 

Ein Bäcker hat als einzigen Abnehmer eine Klinik. Sie bekommt wöchentlich 1200kg Brötchen, 2400kg Graubrot und 800kg Weißbrot. 
Der Bäcker besitzt 2 Bäckereien mit folgenden Kapazitäten täglich:
Bäckerei 1: 600kg Brötchen, 400kg Graubrot, 200kg Weißbrot 
Bäckerei 2: 200kg Brötchen, 1200kg Graubrot, 200kg Weißbrot 
Produktionskosten entstehen pro Tag: 
Bäckerei 1: 2000Euro 
Bäckerei 2: 1600Euro 
Gesucht wird die Kostengünstigste Kombination an Tagen der beiden Bäckereien, um die gewünschte Menge zu produzieren. 
a) Zielfunktion und Nebenbedingungen aufstellen 
b) Randgeraden aufstellen und Planungsviereck zeichnen. Zielfunktion mit einzeichnen. 
Zeichnerisch die optimalste Lösung bestimmen. 
c) Wie hoch sind die minimalen wöchentlichen Produktionskosten? 

Comments

Du musst Nebenbedingungen und eine Zielfunktion aufstellen.

Welche Sätze der Fragestellung gehören denn wozu?

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Zielfunktion:

2000x + 1600y = min. 

Nebenbedingungen: 

600x + 200y = 1200 
400x + 1200y = 2400 
200x + 200y = 800 

So weit hätte ich es bisher aufgestellt, aber keine Ahnung, ob das richtig ist. Ich hab die Frage nur so, wie sie da steht und kann für mich die Informationen einfach nicht ordnen. Schon allein weil oben von wöchentlich gesprochen wird und dann hat man aber Tageskapazitäten. Bin total verwirrt.

Answer 1

Schon allein weil oben von wöchentlich gesprochen wird und dann hat
man aber Tageskapazitäten. Bin total verwirrt. 

x = Produktionstage der 1.Bäckerei
y = Produktionstage der 2.Bäckerei

Wöchentlich nimmt das Krankenhaus 1200 kg Brötchen ab.

x * 600 + y * 200 = 1200

Deine Nebenbedingungen

600x + 200y = 1200 
400x + 1200y = 2400 
200x + 200y = 800

Da wir nicht wissen ob es eine optimale Lösung gibt sind dies die
Mindestmengen die produziert werden müssen.
Also gilt für die Nebenbedingungen

600x + 200y ≥ 1200 
400x + 1200y ≥ 2400 
200x + 200y ≥ 800

Alles oberhalb der Teilgeraden von blau,grün,rot erfüllt die Bedingungen.

Zielfunktion
2000 * x + 1600 * y = Kosten
y = Kosten / 1600 - 2000/1600 * x
y = Kosten / 1600 - 1.25 * x

Die Zielfunktion ( Gerade ) hat die Steigung - 1.25.

Du zeichnest jetzt oberhalb von blau,grün und rot eine Gerade mit
der Steigung -1.25 ein.
Dann verschiebst du die Gerade nach unten bis zum tiefstmöglichen Punkt
im Zielbereich.

Der tiefstmögliche Punkt ist ( 1 | 3 ).
Dieser ist gleich blau, gleich grün und oberhalb von rot.
Der y-Achsenabschnitt ist geschätzt 4.25.
Nach obiger Formel
y = Kosten / 1600 - 1.25 * x
Kosten / 1600 = 4.25 betragen die minmalen wöchentlichen Kosten
6800 €
( 1 | 3 ) eingesetzt in die Zielfunktion
2000 * 1 + 3 * 1600 = 6800.
Das Ergebnis hat sich bestätigt.

Comments

Hey danke, super erklärt, sodass sogar ich das verstanden hab. Mir war vorher nicht klar, wie ich aus der Zielfunktion eine Gerade machen soll, aber so ist es mir jetzt auch logisch.

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Gern geschehen.

Die Zielfunktionsgerade und deren Verschiebung bei einer
zeichnerischen Lösung ist ja auch nicht trivial.

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der Rechenweg ist sehr plausibel. Allerdings verstehe ich nicht wie kommen wir auf den Wert von 4,25 für y-Achse.

Die Aufgabe ist schon etwas her aber ich hab die gleich zu lösen und da bin ich stecken geblieben..

Könnt Ihr mir weiter helfen?

Gruß , Daniel

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2000·x + 1600·y = K

y = 0.000625·K - 1.25·x

Diese Gerade kannst du an den Schnittpunkten einzeichnen. Eine Gerade lautet dann

y = -1.25·(x - 1) + 3 = 4.25 - 1.25·x

Die hat also einen Y-Achsenabschnitt bei 4.25. 

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Hallo Daniel,

der Rechenweg ist sehr plausibel. Allerdings
verstehe ich nicht wie kommen wir auf den Wert
von 4,25 für y-Achse.

Ich weiß nicht ob deine Frage vom Kommentar
des Mathecoachs beantwortet wurde ?

Die Kosten sind
2000 * x + 1600 * y = Kosten
Als Gerade umgeformt
1600 * y = Kosten - 2000 * x
y = Kosten / 1600 - 2000 / 1600 * x
y = Kosten / 1600 - 1.25 * x

Dies ist eine Geradengleichung. Für Kosten
nun einen x-beliebigen Wert einsetzen die
Gerade einzeichnen.

Gesucht ist nunmehr die tiefste Gerade
( dieselbe Steigung ) welche
alle 3 Bedingungen erfüllt.

Der tiefstmögliche Punkt ist ( 1 | 3 ).
Dieser ist gleich blau, gleich grün und
oberhalb von rot.

Rechnerisch

3 = -1.25 * 1 * b
b = 4.25

Die Gerade durch den Punkt ( 1 | 3 ) ist
y = -1.25 * x + 4.25

Bitte nachfragen falls noch nicht
verstanden.
Du sollst nicht unwissend sterben_.

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Das ist gigantisch :-)

dann fang ich an...

ich hab alle Punkte für x und y ausgerechnet und zwar : 2 | 6 ; 6 | 2 ; 4 | 4

Der tiefstmögliche Punkt ist ( 1 | 3 ).

wo kommen die 1ind 3 her?

Rechnerisch

3 = -1.25 * 1 * b
b = 4.25

warum ist da "b"

Die Gerade durch den Punkt ( 1 | 3 ) ist
y = -1.25 * x + 4.25

ich danke für die Zeit die Sie für mich investieren!

gruß Daniel

da komm ich leider nich mehr weiter..

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ich habe die Kosten funktion so gerechnet:

2000x + 1600y = K   (K=5000 -beliebiges Wert)

X= 2,5    Y= 3,13..

Wie soll ich jetzt weiter verfahren? Auch in den Graph setzen und paralelle ziehen zum Extremsten Punkt und diesen Wert ablesen?

wie komm ich da rechnerisch?

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"ich hab alle Punkte für x und y ausgerechnet und zwar : 2 | 6 ; 6 | 2 ; 4 | 4 "

Mit verlaub das sind KEINE Punkte sondern x und y-Abschnitte der Geraden.

Du zeichnest die Restriktionsgeraden in das Koordinatensystem ein. Diese begrenzen mit den Geraden x = 7 und y = 7 einen Bereich möglicher Produktionsaufteilungen für die beiden Bäckereien.

Du kannst jetzt für die entstandenen Schnittpunkte die jeweiligen Kosten bestimmen. Machst du das hat der Punkt (1|3) die niedrigsten Kosten. Die zugehörige Isokostengerade, die alle Punkte mit gleichen Kosten symbolisiert hat auch mit dem Bereich der möglichen Produktionsaufteilungen nur einen Punkt gemeinsam.

Halte dich einfach mal an die Zeichnung in meiner unteren Antwort. Ich denke das ist dort alles sehr sehr gut zu erkennen.

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Hallo Daniiel,

ich denke du hast das Lösen dieser Aufgabe noch
nicht verstanden. Aber das bekommen wir noch hin.
Gehen wir schrittweise vor.
Die Lösung liegt im schraffiertem Bereich oberhalb
oder auf den Begrenzungsgeraden.
Ist dir die Skizze klar ?

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Hallo Georg,

ja das hab ich. Dadurch hat sich der tiefster Punkt ergeben 1|3. Damit kann auch die Kostenfunktion 2000x + 1600y= K (6800) überprüft werden..

X=1        Y=3

Allerdings hab ich das rechnerische Part nicht verstanden..

Geht es so:

2000·x + 1600·y = K  / :1600                                     

2000x : 1600 + y = K:1600                                       

y= K :1600 -1,25x

Rechnerisch

3 = -1.25 * 1 * b
b = 4.25

Ist b eigentlich y?

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3 = -1.25 * 1 + b
y = -1.25 * x + b
b ist der y-Achsenabschnitt einer Geraden.

Dies ist die dir vertraute Skizze.
Die dünne rote Linie ist die Gerade für
Kosten = 11200 ( Kosten zunächst x-beliebig )
y = 11200 / 1600 - 1.25 * x
y = 7 -1.2.5
Nun ist die Lösung dann gefunden wenn
Kosten / 1600 oder der y-Achsenabschnitt am geringsten
ist dann sind auch die Kosten am geringsten.
Das heißt, die dünne rote Liniie wird soweit
parallel nach unten verschoben bis ein markierter
( Eck-) Punkt erreicht ist ( 1| 3 ) bei dem der
y-Achsenabschnitt ( 4.25 ) am geringsten ist.
4.25 = Kosten / 1600
Kosten = 6800

Soweit klar ?

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Das wär ja eine eher zeichnerische Lösung und keine rechnerische Lösung. 

Wenn man eh schon die Schnittpunkte (0, 6), (1, 3), (3, 1), (6, 0),  habe, dann kann ich ja für jeden dieser Punkte die entstehenden Kosten ausrechnen. Das Minimum ist dann schnell gefunden. 

Grafisch geht es aber einfacher.

Der Vorteil an der Rechnung ist aber man bekommt gleich die Kostenersparnis heraus.

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Hallo coach,

der nächste Schritt wäre bei mir gewesen,
nachdem der Eleve anhand der Skizze verstanden hat
wie es geht, die  rechnerische Lösung  über die
Eckpunkte ( Schnittpunkte der Geraden )
zu vermitteln.

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es lichtet sich etwas.. Ich bin Ihnen so dankbar!

bei :   

y = 11200 / 1600 - 1.25 * x
y = 7 -1.2.5    (wo ist der x jetzt und kann es dann so abgezogen werden?)

warum haben Sie 11200 genommen?

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verstehen Sie mich...ich bin seit 16 J Mediziner der jetzt noch Ökonomie studiert..deshalb ist es etwas schwerer die scheinbar logische zusammenhänge der Mathematik für mich zu verstehen..

die 11200 ist zwar die x-beliebige Zahl aber warum ausgerechnet? (kann auch 10000 oder 5000 sein?)

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Die Kosten von 11200  sind beliebig gewählt.
Es kann auch 10000 oder 5000 verwendet werden.

Dann ergeben sich andere Geraden aber mit
derselben Steigung.
Auch diese können wieder soweit
verschoben werden das sie durch den Punkt
( 1 | 3 ) gehen.
Das Endergebnis bleibt dasselbe.

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und ..

bei :   

y = 11200 / 1600 - 1.25 * x
y = 7 -1.2.5    (wo ist der x jetzt und kann es dann so abgezogen werden?)

---

Fehler meinerseits der allerdings nur einmal
auftaucht . Ansonsten heißt es richtig

y = 7 - 1.25 * x

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2000·x + 1600·y = K

y = 0.000625·K - 1.25·x   - Warum ist das jetzt so geschrieben? können Sie mir das bitte schrittweise aufschreiben.. Hab bereits alles versucht :-(

1,25 : 2000 = 0,000625.. aber warum?

Diese Gerade kannst du an den Schnittpunkten einzeichnen. Eine Gerade lautet dann

y = -1.25·(x - 1) + 3 = 4.25 - 1.25·x     wieso (x - 1)?

Die hat also einen Y-Achsenabschnitt bei 4.25.  - das ist zwar grafisch zu erlesen aber rechnerisch?

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2000·x + 1600·y = Kosten  | - 2000 * x

1600 * y = Kosten - 2000 * x  | : 1600
y = Kosten / 1600 - 2000 * x / 1600
y = 1 / 1600 * Kosten - 2000 / 1600 * x

y = 0.000625·K - 1.25·x

Diese Gerade kannst du an den Schnittpunkten
einzeichnen. Eine Gerade lautet dann
y = -1.25·(x - 1) + 3 = 4.25 - 1.25·x     wieso (x - 1)?

Diese Antwort hat dir der Mathecoach gegeben.
Dann mußt du dich auch an diesen
wenden.

Daniel,
alles was in diesem Kommentar gesagt wurde
ist bereits schon mindestens10 mal gesagt
worden.
Ich habe den Eindruck  dir fehlen elementare
mathematische Kenntnisse. Dies ist nicht
bös gemeint. Du mußt sehen wo du diese
nachholen kannst.

mfg Georg

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ich hab soweit...

x= -0,8· (y-3) + 1
x= -0,8y + 2,4 + 1
x= 3,24 - 0,8y


y= -1,25· (x-1) + 3
y= -1,25x + 1,25 + 3
y= 4,25 - 1,25x

Das wäre jetzt  3,24 | 4,25

wäre das soweit ok?

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Google 

https://de.wikipedia.org/wiki/Punktsteigungsform

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hallo coach,
du kannst natürlich machen was du willst.
Ich habe manchmal den Eindruck du verwirrst
Fragende mit der Punktsteigungsform..
Ich verwende die übliche Geradengleichung
y = m * x + b

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Ich sehe Ihr seid mit mathematischen Wissen und Variationen sehr gut "bewaffnet". So versucht jeder in seinem Gebiet die eigenen Kompetenzen zu benutzen um einen Wissenstransfer zu ermöglichen um die Eleven weiter kommen zu lassen. Auch ich gebe mein med. Wissen und Erfahrungen an die Studenten und Assistenten weiter und muss ebenfalls schauen dass die gewünschten Antworten Schrittweise erfolgen. Den, ich kann es mir leisten (beim erklären) nach dem Hautschnitt direkt auf die Implantation einer Prothese überzugehen. Hier sind allerdings mehrere Schritte und sehr gute anatomische Vorkenntnisse notwendig. Damit möchte ich nur andeuten dass einem der sich versucht neue Kenntnisse anzueignen die nicht zu seinen Grundkenntnissen gehört,ist für ihm jeder Tipp und Schritt von extremer Bedeutung. Ich verstehe ebenfalls dass Ihr versucht durch bewusstes Überspringen mancher Schritte die Leute zum Nachdenken zu bewegen. Dennoch sind diese manchmal von essenzieller Bedeutung um ein Lämpchen erleuchten zu lassen.

Habt bitte Verständnis und nochmals danke vielmals für die Hilfe und Zeit die Sie für die Lösungsfindung gewidmet haben.

Daniel

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Uns geht es hier in erster Linie nicht darum die essentiellen Grundlagen zu erklären. Dazu sind Lehrbücher da. Wir können ja hier nicht mit jedem den ganzen Grundstoff angefangen von linearen Funktionen beibringen. Du solltest dir für die Grundlagen also auf jedenfall ein Lehrbuch zulegen. Bei Problemen helfen wir aber gerne weiter.

Answer 2

Die Aufgestellten Bedingungen sehen doch gut aus. Warum zeichnest du sie nicht einfach mal ein ?

Bei den Bedingungen darfst du ruhig auch Ungleichheitszeichen verwenden.