Warum ist |i^i| nicht 1?

Question

Ich habe mal eine Frage zu den komplexen Zahlen: | i | = 1, klar. Aber i^i = 0,20787... weil ja bekanntlich e^{iPI} = (-1) ist. Dann zieht man auf beiden Seiten die Wurzel und erhält erst mal e^{iPI/2} = i. Dann beide Seiten noch hoch i und man bekommt e^{iiPI/2} = i^i, womit man schließlich e^{-PI/2} = i^i erhält. (Ich hab jetzt die Betragstriche weggelassen, weil i^i an sich schon positiv ist.)

Nur wie kann man sich das erklären? Es ist klar, dass | i |^{| i |} = 1 ist, aber wenn doch | i | sowieso 1 ist, dann müsste ja eigentlich i^i ja auch den Betrag 1 haben, hat es aber nicht! Also hat i jetzt den Betrag 1, oder kann man gar keinen wirklich definierten Betrag aus i ziehen?

Vielen Dank wenn mir ein schlauer Mathematiker von euch helfen kann!

Answer 1

| i | ^ ( | i | )  ist nicht gleich | i ^i |.

Das ist keine zulässige Umformung,die du mit dem Betrag machen kannst.

EDIT:

Anderes Beispiel:

| -5 ^{-1} | = | -1/5 |  = 1/5

Aber:

| -5| ^{|-1|} = 5^1 = 5

Answer 2

Gegenfrage: Wieso erwartest du dass \( |i^i|=1 \) gelten soll?

Es gibt keine Rechenregel der Form \( |a^b|=|a|^{|b|} \) auch nicht im Reellen.

Es ist \( e^x=1\) für reelle x nur im Fall x=0.

\( -\pi /2\) ist reell und nicht 0. Daher ist \(e^{-\pi/2} \neq 1\). Die reelle Exponentialfunktion ist auch immer postiv, daher also: \( |e^{-\pi/2} |\neq 1\).

Comments

Aber das erklärt nicht, wieso aus einem Wert, der grundsätzlich erstmal den Betrag 1 hat, auf einmal einen anderen Betrag hat. Das meinte ich damit!

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Welcher Wert soll den grundsätzlich erstmal Betrag 1 haben?

\(  i^i  \) sicher nicht, wie bereits in der Antwort dargelegt.

Answer 3

Schon Deine Herleitung von \(i^i=e^{-\pi/2}\) ist voellig falsch, weil die Regel \((a^b)^c=a^{bc}\) Im Komplexen nicht gilt!

Comments

Gibt es eine bessere Herleitung, also könntest Du mir eine bitte vorschlagen?

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Erstmal ein paar grundsaetzliche Sachen:

http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0002&DMDID=DMDLOG_0033

Auf der Seite ganz unten faengt ein kurzes Gegenbeispiel von 1827(!) zu \((a^b)^c=a^{bc}\) im Komplexen an.

Fuer Dich gelten erstmal nur folgende Rechenregeln: \(e^{w+z}=e^w e^z\) und \((e^z)^n=e^{nz}\) für alle ganzzahligen n. Alles andere gilt nicht! Z.B. ist auch \(e^{z/2}=\sqrt{e^z}\) nicht zulaessig, da die komplexe Wurzel zweideutig ist.

Damit bist Du auf der sicheren Seite und rechnest stets richtig.

Fuer alles ander kommst Du um Funktionentheorie (soll heissen: der Beschaeftigung damit!) nicht herum. Bis dahin kannst Du auch \(i^i=e^{-\pi/2}\) nicht hergeleitet haben.

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Warum soll

$$ { \left( { a }^{ b } \right)  }^{ c }={ a }^{ bc } $$

im Komplexen nicht gelten?

Die Gleichung

$$ { i }^{ i }={ e }^{ -\frac { \pi  }{ 2 }  } $$

wurde nach meiner Meinung oben richtig hergeleitet (auch ohne Funktionentheorie). Problematisch wird es oben erst im zweiten Absatz bei den Beträgen.

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Deine "Meinung" ist nicht mehr relevant, wenn bereits ein Gegenbeispiel zur Nichtgueltigkeit von \((a^b)^c=a^{bc}\) explizit angegeben wurde. Danke.

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Welches Gegenbeispiel? Es wurde kein Gegnbeispiel angegeben.

Schau Dir das Beispiel aus Deinem Link genau an und überlege Dir eine Antwort zum letzten Satz des Autors.

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Dein Link zeigt einen Artikel, welcher mit Aufgabe überschrieben ist. Die Aufgabe ist, den Fehler in einer Herleitung zu finden. Der Fehler liegt nicht darin, wie Du meinst, dass die Potenzgesetze nicht gelten.

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Sondern?     

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Zu der Herleitung aus dem Link:

Bis

$$ { e }^{ 1+2n\pi i }=e\quad ;\quad n\in Z $$

ist alles richtig. Anders als im reellen können bei der komplexen e-Funktion einem Funktionswert mehrere Argumente zugeordnet werden, die komplexe e-Funktion ist nicht eineindeutig. In der Gleichung erkennbar an dem n.

Im nächsten Schritt steckt der Fehler, als die Exponenten quadriert wurden.

$$ { e }^{ { \left( 1+2n\pi i \right)  }^{ 2 } }={ e }^{ { 1 }^{ 2 } }=e\quad ;\quad n\in Z $$

Diese Gleichung ist falsch.

Im reellen kann man, wegen der Eineindeutigkeit der e-Funktion, von der Gleichheit der Potenzen auf die Gleichheit der Exponenten schliessen. Die Exponenten können deshalb im Reellen beliebig umgeformt werden, ohne das die Gleichung falsch wird, da sich alle Änderungen auf rechten und linken Term gleichermassen auswirken.

Im Komplexen geht das nicht, da hier die Exponenten verschieden sein können. Das hat aber nichts mit dem Versagen der Potenzgesetze zu tun, sondern nur mit der Quadratur verschiedener Exponenten.

Ein analoger Fehler im Reellen ist folgender:

$$ sin\left( \pi  \right) =sin\left( 0 \right) \quad \Rightarrow \quad sin\left( { \pi  }^{ 2 } \right) =sin\left( { 0 }^{ 2 } \right) =sin\left( 0 \right) $$

Auch diese Umformung ist nicht erlaubt. Die Sinusfunktion ist ebenfalls nicht eineindeutig. Zu einem Funktionswert kann es mehrere Argumente geben. Auch hier liegt der Fehler in der Quadrierung verschiedenen Argumente.

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Du hast die Pointe nicht kapiert, der quadrierte Eponent kommt von der Anwendung der "Regel" \((e^a)^a=e^{a^2}\), eine Spezialisierung der allgemeinen "Regel", die hier zur Debatte steht. Es faengt an mit \(e^{1+2n\pi i}=e\). Wenn man dann beide Seiten nochmal mit \(1+2n\pi i\) exponenziert, dann ...

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Es wurden nicht beide Seiten nochmals mit 1+ 2nπi exponenziert. Die linke Seite wurde mit 1+ 2nπi exponenziert und die rechte Seite mit 1. Entsprechend der Quadratur ihres bisherigen Exponenten.

Dadurch wurde die Gleichung unerlaubt umgeformt. Bei den Potenzgesetzen erfolgt keine Umformung, da sich der Wert der Potenz nicht ändert.

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Was soll man zu so viel Beratungsresistenz noch sagen...

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darf man fragen, wen Du meinst?

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Immer den, der fragt.

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Dann glaubst Du auch, dass (a^b)^c = a^bc im Komplexen nicht gilt.

Alles klar.

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Aua. Das tut weh.

Dir haben jetzt zwei Leute gesagt, dass dieses Potenzgesetz im Komplexen im Allgemeinen nicht gilt. Du hast sogar oben ein Gegenbeispiel gesehen. Verrate mir mal eins: Wie kannst du trotzdem noch auf dem Standpunkt beharren, das dieses Gesetz richtig wäre? Wie kommst du überhaupt zu dieser Annahme?

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Man soll ja nie aufgeben. Wir fangen an mit:

(1)   \(e^{1+2n\pi i}=e\)

Soweit stimmst Du noch zu, oder? Dann potenzieren wir beide Seiten mit \(1+2n\pi i\).

(2)   \((e^{1+2n\pi i})^{1+2n\pi i} = e^{1+2n\pi i}\)

Dann wenden wir auf der linken Seite die von Dir als gueltig angesehene Potenzregel an und erinneren uns für die rechte Seite an (1). Das ergibt:

(3)   \(e^{(1+2n\pi i)^2} = e\)

Wenn Du es jetzt immer noch nicht kapiert hast, dann solltest Du in Zukunft nur noch in den Foren von Frauenzeitschriften, etc. Kommentare abgeben.

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Hier herrscht ein bisschen die Selbstverliebtheit, was? Ich möchte daran erinnern, dass wir nicht Stack_Exchange sind - hier können Argumentationen ruhig erklärt werden. Ich halte nicht besonders viel von Einzeilern und Beleidigungen - selbst wenn man im Recht ist.

Es ist wahr, dass die Regel (a^b)^c=a^bc im Komplexen nicht mehr gilt und das hat mit der Verzweigung der Logarithmus-Funktion zu tun.

Ich möchte Matheassguru kurz das Gegenbeispiel erklären, ich bin relativ sicher, dass er den Zwischenschritt nur nicht sieht.

Starten wir von $$e^{1+2\pi i} = e^1 = e$$. Potenziert man nun beide Seiten mit (1+2πi), dann findet man:
$$(e^{1+2\pi i})^{1+2\pi i} = e^{1+2 \pi i}$$
Die rechte Seite kennen wir schon, dass ist einfach nur e¹=e.

Wenn wir nun für die linke Seite die fragliche Formel benutzen, dann steht da
$$e = e^{(1+2\pi i)(1+2\pi i)} = e^{1-4\pi^2 + 4\pi i}$$
und übrig bleibt die fehlerhafte Aussage
$$1 = e^{-4\pi^2}$$.

Edit: Jetzt war ich ein paar Minuten zu spät. Der Ton ist meiner Meinung nach immer noch unnötig. Mehr dazu gibt es übrigens hier.

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Die letzten beiden Kommentare haben mich überzeugt, dass ich mit meiner Meinung falsch lag und Ihr Recht hattet.