Warum ist 2/(i^n)+3/((-i)^n) = 2 (-i)^n+3 i^n

Question

Könntet ihr mir vielleicht zeigen, wie man auf diese Umformung kommt?

$$ \frac { 2 } { i ^ { n } } + \frac { 3 } { ( - i ) ^ { n } } = 2 ( - i ) ^ { n } + 3 i ^ { n } $$

Danke.

Answer 1

Wenn du schon weisst, dass

1/i = -i

1/-i = i

Daraus folgt

1 / i^n =(1/i)^n = (-i)^n

1/ (-i)^n = (1/ (-i))^n = i^n

Daraus wiederum folgt

2/(iⁿ)+3/((-i)ⁿ) = 2/1 * 1/ iⁿ+3/1 *1/ (-i)ⁿ = 2 (-i)ⁿ+3 iⁿ

Answer 2

Das stimmt nur unter der Voraussetzung, dass i die imaginäre Einheit ist:

$$ { 2·(\frac { 1 }{ \sqrt { -1 }  }  })^{ n }=2·(\frac { \sqrt { -1 }  }{ \sqrt { -1 } ·\sqrt { -1 }  } )^{ n }\quad =2·(\frac { \sqrt { -1 }  }{ -1 } )^{ n }\quad =2·(\frac { -\sqrt { -1 }  }{ 1 } )^{ n }\quad =\quad 2·(-i)^{ n }\\ \\ { 3·(\frac { 1 }{ -\sqrt { -1 }  }  })^{ n }=3·(\frac { -\sqrt { -1 }  }{ \sqrt { -1 } ·\sqrt { -1 }  } )^{ n }\quad =3·(\frac { -\sqrt { -1 }  }{ -1 } )^{ n }\quad =3·(\frac { \sqrt { -1 }  }{ 1 } )^{ n }\quad =\quad 3·i^{ n } $$