Beweise zur Nebendiagonale bei Matrizen

Question

es geht um folgende Aufgabe, bei der ich nicht weiß, was ich tun soll.

Könnte mir bitte jemand helfen?

Danke

Answer 1

Hi, für \( N^2 \) gilt
$$  n_{i,j}^{(2)} = \sum_{k=0}^n \delta_{k-i,1} \cdot \delta_{j-k,1} $$ nach den Regeln der Matrizenmultiplikation.
Daraus folgt aber $$ n_{i,j}^{(2)} = \delta_{j-i,2} $$ weil
\( k = i+1 \) und \( k = j-1 \) also \( j = i+2 \) gilt.
Das ist jetzt eine Matrix mit nur Einsen auf der zweiten Nebendiagonale.
Das wäre der Induktionsanfang. Nimmt man jetzt eine Matrix mit Elementen
$$ n_{i,j}^{(m)} = \delta_{j-i,m} $$ und multipliziert diese mit einer Matrix mit Elementen \( \delta_{j-i,1} \) bekommt man eine Matrix mit Elementen \( n_{i,j}^{(m+1)} = \delta_{j-i,m+1} \)
Klar ist, das \( n_{i,j}^{(n)} = \delta_{j-i,n} = 0  \) gilt.

Comments

Vielen Dank,

jetzt verstehe ich es.

Answer 2

Für n = 4 sieht es z.B. so aus  N =

0      1       0       0
0      0      1        0
0      0      0        1
0      0      0        0 

und wenn du nun N^2 bildest, siehst du, dass es fast überall 0en

gibt nur nicht

2. Zeile mal dritte Spalte und

3. Zeile mal 4. Spalte, also ist es dann so

0      0       1       0
0      0      0        1
0      0      0        0
0      0      0        0

d.h.: Die Neben diag. mit den 1en ist eins hoch gewandert.

etc.