Aloha :)
(a) wurde bereits in den Kommentaren geklärt. Hier ein Vorschlag für (b):
Das charakteristische Polynom \(p(\lambda)\) einer quadratischen \(n\times n\)-Matrix \(A=(a_{ik})\) hat nach dem Entwicklungssatz immer die Form \(p(\lambda)=\lambda^{n}-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1}+\cdots\). Die Punkte sind irgendwelche Terme mit Potenzen von \(\lambda^{n-2}\) bis runter zu \(\lambda^0\). Wenn \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{C}\) die (eventuell mehrfach vorkommenden) komplexen Eigenwerte von \(A\) sind, hat \(p(\lambda)\) diese Eigenwerte als Nullstellen, d.h. \(p(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)\cdot(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)\) bzw. \(p(\lambda)=\lambda^n-(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n)\lambda^{n-1}+\cdots\). Vergleicht man die beiden Darstellungen von \(p(\lambda)\), kann man ablesen:
$$\text{Spur}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$$
Das gilt nach Herleitung für alle quadratischen Matrizen. Hier ist \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) konkret eine schiefsymmetrische Matrix, d.h. \(A^T=-A\). Insbesondere gilt also für die Diagonalelemente \(a_{ii}=-a_{ii}\), sodass \(a_{ii}=0\) sein muss. Damit ist \(\text{Spur}(A)=0\) und die Summe aller Eigenwerte ist ebenfalls gleich \(0\).
