Grenzwerte von ln und exp. Bsp. lim_(x->0) ( ln(1+x) / sin(x))

Question

Aufgabe 45:

Zeige, dass die Gleichung \( \frac{1}{x}=\exp (x-2) \) eine Lösung in \( \mathbb{R} \backslash\{0\} \) besitzt. Gibt es mehr als eine?

Aufgabe 46:

Bestimme, falls existent, die Grenzwerte

(i) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (1+\exp (x))}{x} \)

(ii) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{\sin x} \)

Ansatz:

Ich bin in einer Klausurvorbereitung und komme mit dem Grenzwert von Logarithmus und Expontential nicht so ganz klar.

Answer 1

Benutze De L' Hospital.

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln{(1+ e^x)}}{x} \overset{DLH}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{e^c}{1+e^x}}{1}$$

Kannst du weitermachen?

Comments

Danke :) auf die Kettenregel kam ich nicht... da kommt dann 1 raus.

Bei der ii, weiß ich allerdings auch nicht weiter und auch die 45 hat noch 3 Fragezeichen... hast du hier auch eine Lösung?

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$$ ( \ln (1+x))' = \frac{1}{1+x} $$

$$(\sin x)'= \cos x$$ Also... ?

Answer 2

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln{(1+ e^x)}}{x} {=} \lim_{x \to +\infty} \frac{{1+e^x}}{e^x}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{{1}}{e^x}+\lim_{x \to +\infty} \frac{{e^x}}{e^x} $$

Comments

Danke euch :) znd die ii, ist dann wahrscheinlich mit sandwich theorem zusätzlich?

Wie kann man denn die 45 lösen?

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Hier würde ich einfach mal etwas Kurvendiskussion ins Spiel bringen:

$$ f(x)= \frac1x $$

Streng monoton steigend im I. Quadranten und streng monoton fallend im III. Quadranten - asymptötlich gegen die Achsen - keine Nullstellen, keine Wendepunkte, keine Extrema.

$$ g(x)= e^{x-2} $$

kommt aus dem II. Quadranten - da is die andere Funktion gaanich zuhause - geht bei $$ (0,e^{-2})$$ in den I. Quadranten - ist streng monoton steigend - kann daher nur an einer Stelle die Hyperbel schneiden.

Schnittpunkt nicht algebraisch ermittelbar - es bietet sich ein Näherungsverfahren an - hier dürfte Newton sehr flott konvergieren.

Fiel Fergnügen!

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\(x\mapsto\frac{1}{x}\) ist im ersten Quadranten streng monoton fallend, nicht steigend. Sonst würde deine Argumentation auch gar nicht funktionieren.

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EDIT:

Streng monoton fallend im I. Quadranten und streng monoton steigend im III. Quadranten

Das war wieder so ein typischer Copy-Paste-Fehler ...

... vielen Dank für den Hinweis !

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\(x\mapsto\frac{1}{x}\) ist aber auch im dritten Quadranten streng monoton fallend... (ich schieb's mal auf die Hitze ;-))

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och - ich bin wohl ins Koma gefallen - herrje!

also nun:

Streng monoton fallend im I. Quadranten und  im III. Quadranten

Answer 3

lim_(x->0) (ln(1+x)/sin(x))

= lim_(x->0) (1*(1/(1+x))/cos(x)

= (1/1) / 1 = 1

Comments

Danke... kannst du mir dazu noch folgendes erklären? Ich dachte den L'hospital darf man nur anwenden wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen ∞ gehen.

Bei lim x->0 ln(1+x) ist dies der Fall, jedoch lim x->0 sin(x) =0

Demnach (1/0 verboten) => Widerspruch... es gibt hier keinen Grenzwert

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ln(1) = 0.

Somit hast du zu Beginn 0/0 und darfst Hospital nehmen.

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Autsch* mein Fehler :)

In jedem Fall danke ich für die vielen Antworten! Weiss jemand was die bei Aufgabe 45 wollen?

Answer 4

Zur Aufgabe 45)

Die Funktion f(x) = exp(x - 2) - 1/x ist für x < 0 monoton wachsend (Nachweis über f'(x) > 0) und der Grenzwert für x-> - ∞ ist 0.

Deshalb ist f(x) für x < 0 stets größer als 0.

Für x > 0 ist f(x) ebenfalls monoton wachsend (Nachweis über f'(x) > 0).

Es gilt: f(1) < 0 und f(2) > 0

Somit folgt aus der Stetigkeit und dem Zwischenwertsatz, dass ein x₀ existieren muss mit f(x₀) = 0.

Wegen der Monotonie ist x₀ einzige Lösung der Gleichung.

Comments

x = 1,557

ich denke, dass sich die Lösung nicht mit Hilfe elementarer Funktionen darstellen lässt.

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Das brauchst Du nicht nur zu denken - die Gleichsetzung führt zu einer transzendenten Gleichung, die keine algebraische Lösung ermöglicht.

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Ich danke euch allen! Ich glaube das hier ist die Lösung:

In der D wurde ja {0} ausgenommen. Wenn man lim x-> 0+ und 0- von e^{x-2} -1/x kommt dann + ∞, bzw. -∞ als Lösung:

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Was verstehst Du unter "Lösung" ???