Stetigkeit einer Funktion mit Epsilon Delta Kriterium zeigen: (x - ⌊x⌋)(1 - x + ⌊x⌋)

Question

Wie beweist man die Stetigkeit folgender Funktion:

$$ f: R → R x \\(x - \left \lfloor x \right \rfloor)(1-x+\left \lfloor x \right \rfloor) $$

Comments

\(x-\lfloor x\rfloor=x-n\) für \(x\in[n,n+1)\) ergibt \(f(x)=(x-n)(n+1-x)\) für \(x\in[n,n+1)\). Der Rest ist einfach, wenn man \(\epsilon\) und \(\delta\) zuhause laesst.

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oder muss es unbedingt eps-delta sein?

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Nicht unbedingt. Es geht auch das Folgenkriterium, mit dem bin ich aber erst recht nicht ganz weitergekommen...

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Nun, \(f\) ist ersichtlich auf jedem Intervall \([n,n+1)\) stetig, das schliesst die rechtsseitige Stetigkeit in \(n\) mit ein. Bleibt nur noch die linksseitige Stetigkeit für jedes \(n\) zu zeigen, also dass \(lim_{x\to n-}f(x)=f(n)\) gilt. Fertig.

Answer 1

Zum Nachweis ist leichter, wenn man die Funktion umschreibt:

Comments

Rechne mit

$$ \delta = \sqrt { { \left( x-\frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ 2 }+\frac { \epsilon  }{ 4 }  } - \left| x-\frac { 1 }{ 4 }  \right| $$

Jetzt wird jede Delta-Umgebung von x in eine Epsilon-Umgebung von f(x) abgebildet.

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Mit obigem Delta gilt

$$ \left| x'-x \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x')-f(x) \right| <\varepsilon $$

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"Zum Nachweis ist leichter, wenn man die Funktion umschreibt"

Hingegen ist es für die Lösung der Aufgabe hilfreicher, wenn man die Funktion der Aufgabe und nicht irgendeine andere betrachtet.

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Was heißt "irgendeine andere"?

Die Funktion aus der Aufgabenstellung stimmt mit der von mir angegeben überein. Beide sind identisch und unterscheiden sich nur in der Schreibweise.

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Das ist ganz sicher nicht der Fall.

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Setz doch mal z.B. x=2 ein oder irgendwas negatives oder, oder. Oder nimm einen Plotter.

Die Behauptung die Funktion im Eröffnungspost und die in der Antwort wären identisch ist schon fast absurd.

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Ich habe die Klammern für Beträge gehalten.

Sollten es Floor-Klammern sein, so wäre die Funktion nicht überall stetig. Ich denke, dass der Fragende ebenfalls Beträge meint, da sonst die Frage, keinen Sinn ergibt.

Sollte er hingegen doch die Floorfunktion gemeint haben, ergibt die Aufgabenstellung: Naschweis der Stetigkeit keinen Sinn.

Es bleibt also ein Schreibfehler, entweder die Klammer oder der Stetigkeitsnachweis sind falsch formuliert.

Ich bin von einem Fehler in der Klammerschreibweise ausgegangen, da nur so die Frage einen Sinn ergibt.

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Da sind sicherlich die floor-Klammern gemeint. Wieso sollte die Funktion dann nicht stetig sein?

~plot~(x-floor(x))*(1-x+floor(x)); [[-3|3|-2|2]]~plot~

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Sollten es die Floorklammern sein, so widerlegt x = 2 meine Funktion gerade nicht, da

$$ \left\lfloor 2 \right\rfloor =\left| 2 \right| =2 $$

ist.

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- Es sind eindeutig Gaußklammern verwendet worden.

- Die Aufgabe mit Beträgen ist strunzlangweilig.

- Die Aufgabe so wie sie da steht ergibt sehr wohll Sinn, siehe auch die Kommentare, die im Gegnsatz zu deinen Einlassungen hier richtig und zur Aufgabe passend sind.

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@Matheassguru:

Sorry, hab das - minus davor vergessen.

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Stimmt, Ihr habt Recht und ich habe mich geirrt. Ich nehme alles zurück.

Ich werde mir einen neuen Ansatz für Delta überlegen.