Löse folgendes Gleichungssystem: 5aby=3a^2(x-a)+2abx-7b^2*(x-b) und 7a^2 y=(3x+4a)*a^2-5b(2a^2+ab+b^2-bx)

Question

5aby=3a²(x-a)+2abx-7b²*(x-b)

7a²y=(3x+4a)*a²-5b(2a²+ab+b²-bx)

Answer 1

Das Gleichungssystem ist ein lineares Gleichungssystem für die Variablen \( x \text{ und } y \). Forme also die beiden Gleichungen so um, dass die Form \( \begin{pmatrix}  a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \) entsteht und dann kann man das mit Gauss lösen.

Die Größen in der Matrix hängen natürlich von \( a \text{ und } b \) ab.

Answer 2

5aby=3a²(x-a)+2abx-7b²*(x-b)    | *7a

7a²y=(3x+4a)*a²-5b(2a²+ab+b²-bx)  | *5b

35a^2 by=21a³(x-a)+14a^2bx-49ab²*(x-b)

35a²by=(3x+4a)*5ba²-25b^2(2a²+ab+b²-bx)

gleichsetzen

21a³(x-a)+14a^2bx-49ab²*(x-b) = (3x+4a)*5ba²-25b^2(2a²+ab+b²-bx)

21a^3 x - 21a^4  + 14a^2 bx - 49ab^2 x + 49b^3 = 15a^2 bx + 20 a^3 b - 50 a^2 b^2 - 25ab^3 - 25b^3 + 25b^3 x

21a^3 x - 21a^4  - a^2 bx   -  49ab^2 x =  20 a^3 b - 50 a^2 b^2 - 25ab^3  + 25b^3 x - 74b^3

21a^3 x     -a^2 b x  -  49ab^2 x   -25b^3 x=     20 a^3 b  - 50 a^2 b^2 - 25ab^3  - 74b^3 +21a^4

x*( 21a^3      -a^2 b   -  49ab^2    -25b^3 ) =  + 21a^4   + 20 a^3 b   - 50 a^2 b^2 - 25ab^3

so eine Art Polynomdivision durch die Klammer gibt x = a+b

dann ganz oben einsetzen bei  5aby=3a²(x-a)+2abx-7b²*(x-b)

gibt  5aby=3a²(a+b-a)+2ab(a+b)-7b²*(a+b-b)

5aby=3a² b+2a^2 b  + 2a b^2 -7ab²

         
    5aby=5a² b  -5ab^2   | : 5ab

y = a-b