Eine Aufgabe zur Analysis : f (x) = 1/10 ( -x³ + 12x² - 36)

Question

Ich bräuchte eine kurze Hilfestellung bei der folgenden Aufgabe :
f (x) = 1/10 ( -x³ + 12x² - 36x ) Wertetabelle und Extremum.... Wenn ich den Wert für -1 ausrechnen soll, wo muss ich diese Einsetzen in der Funktionsgleichung?
Wendepunkt und Tief bzw. Höhepunkt auch!

Vielen, vielen Dank schon einmal im Voraus!

Answer 1

Um den Wert der Funktion an der Stelle x=-1 auszurechnen, musst du an jeder Stelle in der Funktionsgleichung für x die Zahl -1 einsetzen. Damit erhält man

f(-1) = 4,9

Für Maxima und Minima musst du die Nullstellen der ersten Ableitung finden, für Wendepunkte die Nullstellen der zweiten Ableitung. Anschließend musst du jeweils überprüfen, ob es sich wirklich um Extrema/Wendepunkte handelt, indem du die jeweils nächste Ableitung ausrechnest (die darf nicht verschwinden).

Ich gebe mal die Ableitungen und deren Nullstellen an, die Rechnung überlasse ich dir.

$$f'(x) = \frac{-3}{10} (x^2 -8x +12)$$

mit Nullstellen x_E ∈ {6, 2}. Dabei ist x_Min = 2 ein Minimum und x_Max = 6 ein Maximum.

$$f''(x) = \frac{-3}{5}(x - 4)$$

mit Wendepunkt x_W = 4.

Comments

Super, vielen Dank, du hast mir schon sehr; sehr geholfen....!

Nur noch mal zum Verständnis, das will bei mir noch nicht so ganz klappen :

Kannst du mir noch einmal die Gleichung mit der eingesetzen Zahl aufschreiben?

f (x) = 1/10 ( -x³ + 12x² - 36x ) Wo und wie muss ich jetzt hier die Zahl einsetzen?

Einmal für -1 und für +1?

Vielmals danke!!!!!!

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f (x) = 1/10 ( -x³ + 12x² - 36x )

Um Funktionswerte auszurechnen zum Beispiel x = -1 setzt du ein

f (x) = 1/10 ( -x³ + 12x² - 36x )
f ( -1 ) = 1/10 ( -(-1)^3 + 12(-1)^2 - 36*(-1) )
f ( -1 ) = 1/10 * ( 1 + 12 + 36 )
f ( -1 ) = 4.9
( -1 | 4.9 )

Noch ein Beispiel für x = 2
f ( 2 ) = 1/10 ( -(2)^3 + 12(2)^2 - 36*(2) )
f ( 2 ) = 1/10 * ( -8 + 48 -72 )
f ( 2 ) = -3.2
( 2 | -3.2 )

Das machst du für ein paar Punkte und erhältst eine Wertetabelle.
Dann kann die Funktion gezeichnet werden.

~plot~ 1/10 ( -(x)^3 + 12*(x)^2 - 36*(x) ) ~plot~

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Zum Berechnen von Funktionswerten durch einsetzen:
Es soll der Wert der Funktion \(f\) an der Stelle \(x=-1\) berechnet werden.
$$ f(x) = \frac 1{10} \left( -x^3 + 12x^2 - 36x \right) \\\,\\ f(-1) = \frac 1{10}\cdot \left( -(-1)^3 + 12\cdot(-1)^2 - 36\cdot(-1) \right) $$Das Einsetzen geschieht also dadurch, dass die Variable \(x\) im Funktionsterm durch den geklammerten(!) Term \((-1)\) ersetzt wird. Desweiteren müssen beim Einsetzen auch die unsichtbaren Multiplikationspunkte wieder gesetzt werden. Danch kann vereinfacht, zusammengefasst oder in den Taschenrechner getippt werden.