Komplexe Zahlen berechnen (Akustik)

Question

Wie berechnet man so was: $$\frac { -0.68-i*0.985 }{ 1.32-i*0.985 }$$

Ich habe keine Ahnung wie man auf $$0.027-i*0.726$$ kommt.

Comments

Erweitere mit dem konjugiert komplexen Nenner.

Answer 1

Das Ganze Funktioniert über die komplex konjugierte Erweiterung gemäß der 3. binomischen Formel.

(- 0.985·i - 0.68)/(1.32 - 0.985·i)

= (- 0.985·i - 0.68)·(1.32 + 0.985·i) / ((1.32 - 0.985·i)·(1.32 + 0.985·i))

= (0.072625 - 1.97·i) / 2.712625

=  0.02677295977 - 0.7262338141·i

Answer 2

In solchen Fällen $$z = \frac{u}{w}$$ tut, wo u, w ∈ ℂ sind, erweitert man den Bruch mit dem komplex konjugierten von w. Dadurch erhält man $$z = \frac{u\bar{w}}{|w|^2}$$ und der Nenner ist nun eine reelle Zahl.

Unter dem komplex konjugierten versteht man die Zahl mit dem selben Realteil aber gerade umgekehrtem Vorzeichen des Imaginärteils. Für $$w = 1.32 - 0.985i$$ gilt also $$\bar{w} = 1.32 + 0.985i$$ und nach der dritten binomischen Formel ist $$w \bar{w} = 1.32^2 + 0.985^2 = 2.712625$$ Außerdem rechnet man leicht nach, dass $$(-0.68 - 0.985 i) (1.32 + 0.985 i) = 0.072625 -1.97 i$$, also

$$z = \frac{0.072625}{2.712625} - \frac{1.97}{2.712625} i \approx 0.027 - 0.726i$$