Der Betrag auf der linken Seite der Ungleichungskette ist natürlich größer/gleich 0. Und mit obiger Abschätzung haben wir eine Folge gefunden, die größer/gleich dem Betrag des Integrals ist und gegen 0 konvergiert. Nach dem Einschnürungssatz konvergiert damit auch der Betrag des Integrals gegen 0.
Und wenn der Betrag von etwas gegen 0 konvergiert, muss dieses "etwas" selbst gegen 0 konvergieren.
"und der grenzwert ist null. Oder?!
Jetzt muss ich nur noch wissen, warum es konvergent ist."
Diese Frage verstehe ich nicht. "Konvergieren" ist doch dasselbe wie "einen Grenzwert besitzen". Und dass die Folge einen Grenzwert hat, hast du ja selbst erkannt.