Konvergenz Folge mit Integral

Question

Sei f: [0,1]->R stetig

und die Folge an= Integral (von 1/n+1 bis 1/n) f(x) dx.

Ist die Folge konvergent? Wenn ja wie ist der Grenzwert?

Wer kann mir helfen?

Answer 1

\(f\) und deswegen auch \(|f|\) ist stetig auf einem Kompaktum, also existiert \(\max\limits_{x\in[0,1]} |f(x)|\). Damit ist$$ \left|\int_\frac{1}{n+1}^\frac{1}{n} \! f(x)\, dx\right| \leq \int_\frac{1}{n+1}^\frac{1}{n} \! |f(x)|\, dx \leq \max\limits_{x\in[0,1]} |f(x)| \cdot \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$$$=\max\limits_{x\in[0,1]} |f(x)|\cdot \frac{1}{n(n+1)} .$$

Comments

Hi Nick,

ich verstehe deine Bewisidee noch nicht so ganz. Was sagt mir das über die Konvergenz?

Kannst du deine Gedankenschritte bitte nochmal etwas ausführlicher darstellen?! Danke.

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Also das heißt ja dann, dass für n --> unendlich ist ja 1/n(n+1) =0 und deswegen ist

max |f(x)| *0 auch null und der grenzwert ist null. Oder?!

Jetzt muss ich nur noch wissen, warum es konvergent ist.

Gruss

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Der Betrag auf der linken Seite der Ungleichungskette ist natürlich größer/gleich 0. Und mit obiger Abschätzung haben wir eine Folge gefunden, die größer/gleich dem Betrag des Integrals ist und gegen 0 konvergiert. Nach dem Einschnürungssatz konvergiert damit auch der Betrag des Integrals gegen 0.

Und wenn der Betrag von etwas gegen 0 konvergiert, muss dieses "etwas" selbst gegen 0 konvergieren.

"und der grenzwert ist null. Oder?!

 Jetzt muss ich nur noch wissen, warum es konvergent ist."
Diese Frage verstehe ich nicht. "Konvergieren" ist doch dasselbe wie "einen Grenzwert besitzen". Und dass die Folge einen Grenzwert hat, hast du ja selbst erkannt.

Answer 2

Meine Idee dazu:

1/(n + 1) und 1/n haben doch als Grenzwert 0.

Damit läuft das Integral im Grenzfall von 0 bis 0 und hat damit auch eine Fläche von 0 zwischen dem Graphen und der x Achse.