Variable so bestimmen, dass die eingeschlossene Fläche zwischen Graph und x-Achse den Inhalt von 2Flächeneinheiten hat.

Question

an alle Mathegurus,

Der Titel der Frage ist mehr schlecht als recht ausgedrückt tut mir leid.

Nun aber die eigentliche Aufgabenstellung:

Bestimmen sie a ∈(0,∞) derart, dass die eingeschlossene Fläche zwischen dem Graphen der Funktion

f : (-1,∞) -> [0,∞) ,   f(x) = 1 / √(x+1)

und der x-Achse auf dem Intervall [a,8] einen Inhalt von 2 Flächeneinheiten hat.

Ich steh total aufm Schlauch was ich da jetzt wie wo wann machen muss.

Der Graph schließt ja an sich auch keine Fläche ein irgendwie also lege ich diesen Einschluss nur durch die Intervallgrenzen fest oder. Oh ich komm mir grad arg vertrottelt vor, wohl die Uhrzeit :D

Danke schon einmal für alle so späten fleißigen Helfer :)

Answer 1

Du musst das Integral zunächst mit variablem Anfangspunkt a ausrechnen. Das Ergebnis wird ein Term sein, der von a abhängt, und gleich 2 gesetzt werden muss. Damit erhältst du eine Gleichung, die nach a aufgelöst werden kann.

$$I(a) = \int_a^8 \frac{1}{\sqrt{x+1}} \text{d}x\\ \ \ \ \ \ \ \ = \left.2\sqrt{x+1}\right|_a^8\\ \ \ \ \ \ \ \ =2(3-\sqrt{a+1})$$

Damit nun I(a)=2 gilt, muss also a = 3 sein.