Für welche Werte von x konvergiert die Reihe? a_(n) = ((x/(1-x))^n

Question

Wie gehe ich bei so einer Aufgabe vor? Finde leider keinen Ansatz

Comments

Meinst du die Folge \(\{a_n\}\) oder die Reihe \(\sum a_n\) ?

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die Aufgabe ist so vom Professor gestellt, also die Reihe :/

Answer 1

Setzte mal \( z = \frac{x}{1-x} \) und berechne für \( z > 1 \), z.B. \( z = 2 \) den Ausdruck \( z^{10} \). Und das Gleiche für \( z \le 1 \) z.B. \( z = \frac{1}{2} \) Welche Ungleichung kann man daraus ableiten für \( z \)? Und dann das ganze nach \( x \) auflösen.

Comments

hmmm die gleichung schwankt? je nachdem wie groß n ist (also gerade oder ungerade) ist z > 1 oder z < 1 erfüllt... :/

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Naja, \( 2^{10} = 1024 \) und \(  \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = \frac{1}{1024}  \) Was sieht ma daran?

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wenn z > 1 gehts gegen unendlich und wenn z < 1 gehts gegen 0

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Und was ist mit \( z = 1  \)? Dann aber die Ungleichung nach \( x \) auflösen.

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bei z = 1 bleibts bei 1

wie stelle ich die Ungleichung auf? oder stelle ich zwei auf einmal für 1 und einmal für -1 und löse dann nach x auf?

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Bevor wir weiter machen, muss die von Gast gestellte Frage geklärt sein. Geht es um die Konvergenz von \( a_n\) oder um die Konvergenz von \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) Bei letzterem schau Dir doch mal eine geometrische Reihe an

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

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achso also ich guck als erstes was x eben nicht sein darf (hier 1)

also muss x < 1 oder größer als -1 sein...

dann hab ich zwei ungleichungen:

x/(1-x) < 1  und x/(1-x) > -1

wenn ich das jetzt nach x auflöse, komme ich auf

x < 1/2 und 0 > -1

aber was sagt mir das?

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Hi,
betrachtet man zunächst die Folge \( a_n(x) = \left( \frac{x}{1-x} \right)^n \) konvergiert diese nur wenn gilt \( |a_n(x)| \le 1 \) und dies gilt nur für \( x \le \frac{1}{2} \)
Betrachtet man die Reihe \( \sum_{n=0}^\infty a_n(x) \) konvergiert diese als geometrische Reihe nur für \(  \left| \frac{x}{1-x}  \right| < 1 \) also für \( x < \frac{1}{2} \), siehe den angegebenen Link.