Komplexe Zahlen. Alle Lösungen der Gleichung z/z* = j bestimmen

Question

ich stehe vor der aufgabe z / z* = j

z = (a+bi)

gesucht ist a) eine Lösung der Gleichung  (-1??)

                     b) alle Lösungen

Answer 1

z / z* = j            . z≠0, damit Bruch definiert ist.

(a + jb) / (a - jb) = j            |*(a-jb)

a + jb = j(a - jb)                 |j^2 = -1

a + jb = aj + b

Realteile und Imaginärteile links und rechts vergleichen

Realteile: a = b

Imaginärteile: b = a

==> a=b ≠ 0 für a und b Element R\{0} sind alle Möglichkeiten.

Eine Lösung: z_(1) = 1 + j

Alle Lösungen: z_(t) = t + tj , wobei t Element R\{0}

Answer 2

Hi,

\( z = -1 \) ist keine Lösung wie man an \( \frac{-1}{-1} = 1 \ne j \) erkennt.

Erweitere mit dem kunjugiert komplexen dann folgt, es muss gelten
$$ \frac{z^2}{|z|^2} = j $$
Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil der Gleichung folgt, dass gelten muss
$$ a = b $$ weil \( z^2 = a^2 + 2jab - b^2 \) und \( |z|^2 = a^2 + b^2 \) ist.
Das einsetzten und vergleichen ergibt die Lösung.

Comments

kann leider nur schwer folgen ;/ also ab dem vergleichen warum a=b gelten muss

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Setzte doch mal in die Gleichung

$$  z^2 = j |z|^2 $$ die beiden Terme ein, die ich hingeschrieben habe und sortiere nach Real- und Imaginärteil.

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a² +2ab - b² = (a²+b²)j habe jetzt sämtliche variationen druchprobiert, aber denke hab da ein verständnis problem generell  nämlich ist z=a+bi  -> ist dann der im-teil bi oder

ist alles z•j der imaginärteil. bin grad schlecklich verwirrt

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wenn du z = a+bi hast, dann ist z^2 = a^2 + 2abi - b^2  (weil i^2 = -1 )

also z^2 = a^2 - b^2 + 2abi

und  |z|^2 ist  a^2 + b^2

und dann nimmst du statt z^2 /  |z|^2 = i besser

z^2 = |z|^2 * i

dann gibt es

a^2 - b^2 + 2abi  =  ( a^2 + b^2) * i

oder eben

a^2 - b^2 + 2abi  = 0   +  ( a^2 + b^2) * i

also hast du links den Realteil  a^2 - b^2   und rechts 0

deshalb muss  a^2 - b^2 = 0 sein, also    a^2  = b^2  und damit a=b  oder  a= - b

Vergleich der Imaginärteile gibt 

2ab = a^2 + b^2 

a^2 - 2ab + b^2 = 0

also  ( a-b) ^2 = 0

also   a=b  

Beides zusammen ergibt also :

Die Gleichung gilt immer , wenn a=b

also z.B. für z = 1 + i

oder  z = 7 + 7i

oder z = 123 + 123i   etc.

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hat mir sehr fürs verständis geholfen, danke dir

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also habe ich   = a²-b² + (a-b)²i

aber dann kommt doch null raus?

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Was soll das denn sein. Bei der Gleichung fehlt doch die linke Seite.

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Nein, die Zahl z war ja a+b*i

also wenn a=b dann ist das eben sowas wie   3+3*i oder so

Die Gleichung ist sozusagen eine Bedingung, und wenn du eine

komplexe Zahl mit a=b einsetzt, dann stimmt eben die Bedingung.

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Vielleicht haben wir uns falsch verstanden, ich meinte den Kommentar

"also habe ich   = a²-b² + (a-b)²i
aber dann kommt doch null raus?"

Das da \( a = b \) raus kommt habe ich ja selber schon geschrieben, dass ist nichts neues.