Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung z^{2}+1=j .

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung \( z^{2}+1=j \).
Dokumentieren Sie den Rechenweg im Detail !
Skizzieren Sie alle Lösungen der Gleichung als Zeiger in der Gauß'schen Zahlenebene, so dass alle wesentlichen Eigenschaften erkennbar sind.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Comments

Habt Ihr die Polarkoordinaten Darstellung für komplexe Zahlen besprochen? Oder erwartest Du von Eurem Unterricht her eher eine Lösung mit Real- und Imaginärteil?

Answer 1

\( z^{2}+1=j \) <=>  \( z^{2}=-1+j \) #

Sei z=a+bj eine Lösung, dann gilt:

\((a+bj)^{2}=-1+j \) ==>    \(a^2 -b^2 +2abj=-1+j \)

==>      \(a^2 -b^2 =-1 \) und   \(ab=1) BEACHTE Kommentar!

Unterscheide die Fälle:

1.  b=0. Dann wird # zu  a= -1+j . Nicht möglich, a∈ℝ

2. b≠0 Dann wird   \(ab=1 \) zu    \(a=\frac{1}{b} \)

und damit     \(a^2 -b^2 =-1 \) zu     \((\frac{1}{b})^2 -b^2 =-1 \)

                     ==>    \(1 -b^4 =-b^2\)

                    ==>    \(  0 =  b^4-b^2+\frac{1}{4} -\frac{5}{4} \)

                ==>      \(   (b^2-\frac{1}{2})^2 =\frac{5}{4}  \)

      ==>   \(b^2-\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{5}}{2}  \) oder \(b^2-\frac{1}{2} =-\frac{\sqrt{5}}{2}  \)

 ==>         \(b^2 =\frac{1+\sqrt{5}}{2}  \) oder \(b^2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}  \)

Die zweite Lösung ist negativ, also bleibt nur

\(b =\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}  \) oder     \(b=-\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}  \)       

und mit \(a=\frac{1}{b} \) bekommst du die zugehörigen Werte für a.

Comments

Ich glaube es muss bei (2.) \( 2ab = 1 \) heißen. Das zieht sich dann durch die ganze Rechnung durch.

---

Danke, das werde ich aber nicht korrigieren, mache nur einen Hinweis.

Answer 2

Sei \( z = re^{i \varphi} \) dann muss die Gleichung $$ r^2 e^{2i\varphi} = -1 + i = \sqrt{2} \cdot e^{ i \cdot \left( \frac{3}{4} \pi + 2 k \pi \right) } $$ gelöst werden, für \( k = 0,1 \)

D.h. \( r = \sqrt[4]{2} \) und \( \varphi = \frac{3}{8} \pi + k \pi \) damit ergibt sich

$$ z = \sqrt[4]{2} \cdot e^{ i \left( \frac{3}{8} \pi + k \pi \right)} $$ \( k = 0, 1 \)

oder auch $$ z = a + ib $$ mit

\(  b = \pm \sqrt{ \frac{1+\sqrt{2} }{2}} \)  und \( a = \frac{1}{2b} \)