Integral via Partialbruchzerlegung von 1/(x*(x-1)^2). Stimmt F(x) = ln(x)- ln(x-1)+ arctan(x-1)?

Question

habe hier eine Partialbruchzerlegung gerechnet und würde gerne wissen ob diese stimmt?

folgendes integral ist gegeben : Integral von: 1/ (x*(x-1)²)   dx

Es liegt eine Doppelte Nullstelle bei x_1/2= -1 vor und x₃=o

Daraus folgt:

1/ (x*(x-1)²) = (A/x)+ (B/(x-1))+(C/(x-1)²

ich erhalte daraus für A= 1; C=1 und für B=-1 (wobei ich für x 2 eingesetzt habe)

Erhalte daraus:

Integral f(x) = Integral(1/x)dx - Integral (1/(x-1))dx - Integral (1/(x-1)²) dx

= ln(x)- ln(x-1)+ arctan(x-1)

Stimmt das so? Für Anmerkungen wäre ich dankbar.

Comments

Die doppelte Nullstelle liegt bei X_1/2= +1 vor sorry!!

Answer 1

f(x) = 1/(x·(x - 1)^2) = 1/(x - 1)^2 - 1/(x - 1) + 1/x

Das jetzt integrieren

F(x) = - LN(x - 1) + LN(x) - 1/(x - 1) + C