Aloha :)
Oha, der Ansatz ist nicht richtig. Der Grad des Zählerpolynoms ist \(3\) und der Grad des Nennerpolynoms ist ebenfalls \(3\). Der Grad des Zählerpolynoms muss kleiner als der Grad des Nennerpolynoms sein. Daher rechne zuerst:$$\frac{x^3+3}{x^2(x+1)}=\frac{x^3+3}{x^3+x^2}=\frac{(x^3\pink{+x^2})+3-\pink{x^2}}{x^3+x^2}=1+\frac{3-x^2}{x^3+x^2}=1+\frac{3-x^2}{x^2(x+1)}$$Alternativ dazu kannst du auch eine Polynomdivision durchführen.
Auf den Bruch kannst du nun die Partialbruchzerlegung ansetzen:$$\frac{3-x^2}{x^2(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}$$
Am einfachsten setzt du nun 3 verschiedene Werte für \(x\) ein, bei denen natürlich keiner der Nenner verschwinden darf:
$$x=1\implies1=A+B+\frac C2\implies 2A+2B+C=2$$$$x=2\implies-\frac{1}{12}=\frac A2+\frac B4+\frac C3\implies6A+3B+4C=-1$$$$x=-2\implies\frac14=\frac{A}{-2}+\frac B4+\frac{C}{-1}\implies-2A+B-4C=1$$
Dieses Gleichungssystem wird gelöst durch: \((A;B;C)=(-3;3;2)\)
Die gesamtze Zerlegung lautet also:$$\frac{x^3+3}{x^2(x+1)}=1-\frac3x+\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x+1}$$
