Wie löst man diese Partialbruchzerlegung

Question

Aufgabe:

\( f_{2}(x)=\frac{2 x^{3}+2 x^{2}+x}{(x+2)\left(x^{2}+1\right)} \)

Problem/Ansatz:

wie bestimme ich die Nullstellen raus? Ich Habe Einsetzverfahren durchgeführt mit x=2 und was mache ich mit x^2+1?

Answer 1

Hier geht es auch so: $$\dfrac{2 x^{3}+2 x^{2}+x}{(x+2)\left(x^{2}+1\right)} = \\[1em] \dfrac{x^{3}+2 x^{2}+x^{3}+x}{(x+2)\left(x^{2}+1\right)} = \\[1em] \dfrac{ x^{2}\cdot\left(x+2\right)+\left(x^{2}+1\right)\cdot x}{(x+2)\left(x^{2}+1\right)} = \\[1em] \dfrac{ x^{2}\cdot\left(x+2\right)}{(x+2)\left(x^{2}+1\right)} +\dfrac{\left(x^{2}+1\right)\cdot x}{(x+2)\left(x^{2}+1\right)} = \\[1em] \dfrac{ x^{2}}{x^{2}+1} +\dfrac{x}{x+2} = \\[1em] 1-\dfrac{ 1}{x^{2}+1} + 1-\dfrac{1}{x+2} = \\[1em] 2-\dfrac{ 1}{x^{2}+1} -\dfrac{\blue{2}}{x+2}.$$PS: Der letzte Zähler muss 2 statt 1 lauten, ich habe das entsprechend geändert.

Answer 2

Zunächst kannst du eine Polynomdivision durchführen

(2·x^3 + 2·x^2 + x)/(x^3 + 2·x^2 + x + 2) = 2 - (2·x^2 + x + 4)/((x + 2)·(x^2 + 1))

Den restlichen Bruch zerlegen wir. Dazu benutzen wir den Ansatz

a/(x + 2) + (bx+ c)/(x^2 + 1)

Ich komme dabei auf

- 2/(x + 2) - 1/(x^2 + 1)

Insgesamt erhalten wir also die Zerlegung

2 - 2/(x + 2) - 1/(x^2 + 1)