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Bestimmen Sie \( 13^{57} \) modulo 11.

Da kommt 7 raus, aber wie kommt man darauf?

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Falls ihr den kleinen Fermat noch nicht hattet:

Da \(2^5 = 32\equiv_{11}-1\) gilt, haben wir

$$13^{57}\equiv_{11}2^{5\cdot 11 + 2}\equiv_{11}(-1)^{11}\cdot 4 \equiv_{11}7$$

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Kleiner Satz von Fermat.

1310≡1 mod 11

Das Ganze hoch 5:

1350≡1 mod 11


Jetzt brauchen wir noch 137:

Es gilt 13≡2 mod 11

Daraus folgt 137≡27 mod 11, also 137≡128≡7 mod 11,

1350·137≡1·7≡7 mod 11

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Alle Reste bei Division durch 11 lassen sich als alternierende Quersumme berechnen.

1310≡1 mod11   Potenzieren mit 5

1350≡1 mod11

137 ≡7 mod11   Multiplizieren

1350+7≡7 mod11

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