Bestimmen Sie \( 13^{57} \) modulo 11.
Da kommt 7 raus, aber wie kommt man darauf?
Falls ihr den kleinen Fermat noch nicht hattet:
Da \(2^5 = 32\equiv_{11}-1\) gilt, haben wir
$$13^{57}\equiv_{11}2^{5\cdot 11 + 2}\equiv_{11}(-1)^{11}\cdot 4 \equiv_{11}7$$
Kleiner Satz von Fermat.
1310≡1 mod 11
Das Ganze hoch 5:
1350≡1 mod 11
Jetzt brauchen wir noch 137:
Es gilt 13≡2 mod 11
Daraus folgt 137≡27 mod 11, also 137≡128≡7 mod 11,
1350·137≡1·7≡7 mod 11
Alle Reste bei Division durch 11 lassen sich als alternierende Quersumme berechnen.
1310≡1 mod11 Potenzieren mit 5
1350≡1 mod11
137 ≡7 mod11 Multiplizieren
1350+7≡7 mod11
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