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ich bereite mich gerade für eine Klausur vor, und bei einer Übungsaufgabe bin ich mir ein wenig unsicher wie ich das Korrekt lösen soll.

Ich soll zeigen, dass im Raum V Abb(R,R) die Menge

U := { f ∈ V | f(x) = f(-x)} einen Untervektorraum bilden.


Das die Nullfunktion Teil von U ist ist klar, aber wie mache ich das mit der Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation und Addition?

Bei der Addition hatte ich mir 2 Elemente f,g ∈ U genommen eine weitere Funktion v:= f+g definiert und dann ganz Blöd v(x) = f(x)+g(x) = f(-x) + g(-x) = v(-x) geschrieben.

Sieht für mich ehr unbefriedigend aus, würde mich über eine kurze Erklärung freuen, ob ich das so lassen kann oder wie ich das ändern muss, dass es Korrekt wird.

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Hi,
es sind drei Dinge zu zeigen
$$ (1) \quad V \ne \emptyset  $$
$$ (2) \quad u+w \in V  \text{ für } u,w \in V$$
$$ (3) \quad \alpha \cdot u \in V \text{ für } \alpha \in \mathbb{R} \text{ und } u \in V $$

(1) hast Du ja schon, weil die Nullabbildung eine gerade Abbildung ist.

(2) \( (u+w)(x)=u(x)+w(x)=u(-x)+w(-x)=(u+w)(-x)  \)

(3) \( (\alpha u)(x) = \alpha \cdot u(x) = \alpha \cdot u(-x) = (\alpha u)(-x) \)

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