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Hallo Forum-Mitglieder,



ich habe da mal eine kleine Frage:

Wie kömmt man zu folgender Umformung?

Bild Mathematik LG

Orbi

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Epsilon-Delta -Beweise werden i.A. anders notiert als sie man sie erstellt.

Es ist $$|z^2-z_0^2| \leq |z-z_0|(2|z_0|+|z-z_0|) \quad (1) $$

nach den Ungleichungen im ersten Absatz. 

Nimm man zusätzlich $$|z-z_0|\leq 1 \quad (2)$$ an, so ergibt sich sogar:

$$|z^2-z_0^2| \leq |z-z_0|(2|z_0|+1)$$

Das soll jetzt kleiner als Epsilon werden, gesucht ist also  eine Lösung von $$\delta(2|z_0|+1) < \varepsilon \quad (3)$$,

damit ergibt sich der "WIESO???"-Teil.

Und damit ergibt sich auch das verwendete Delta: Es muss kleiner als 1, nach (2), sein und kleiner als der Term in (3).

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Vielen Warum muss man denn diese Lehrbücher so kompliziert bzw. umständlich schreiben!

Zum Glück gibt es mathelounge.de ;-)))))

Punkt 1: Weil das andere deutlich länger wär, und die Bücher sind bereits dick genug.

Punkt 2: Es ist eigentlich nicht kompliziert oder umständlich. Wenn man einmal gesehen hat wie das gemeint ist (und das wird in den meisten Vorlesungen/Büchern gemacht) ist es nicht schwierig.

Punkt 3: Der Königsberger ist mehr ein Nachschlagewerk als ein Lehrbuch. Der Forster oder der Amman sind die deutlich eher Lehrbücher, dafür halt nicht so umfangreich.

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Das ist eine Anwendung der Dreiecksungleichung  |a| + |b| ≥ |a+b|

mit a= z-zo und b = 2zo, dann hast du

| z-zo| + |2zo|  ≥ | z-zo + 2zo| = | z+zo|

also gilt bei   | z-zo| + |2zo| <    1 + |2zo| 

jedenfalls auch | z+zo| <    1 + |2zo| 

und wenn du jetzt das delta als Minimum von 1 und eps / (  1 + |2zo| ) wählst,

dann hast du bei   | z - zo | < delta 

 
| z - zo | * | z + zo | < delta *   | z + zo | < delta    *          ( 1 + |2zo|  ) 
                                                                 =  eps / (     1 + |2zo| )    *  ( 1 + |2zo|  ) = eps
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