Epsilon-Delta -Beweise werden i.A. anders notiert als sie man sie erstellt.
Es ist $$|z^2-z_0^2| \leq |z-z_0|(2|z_0|+|z-z_0|) \quad (1) $$
nach den Ungleichungen im ersten Absatz.
Nimm man zusätzlich $$|z-z_0|\leq 1 \quad (2)$$ an, so ergibt sich sogar:
$$|z^2-z_0^2| \leq |z-z_0|(2|z_0|+1)$$
Das soll jetzt kleiner als Epsilon werden, gesucht ist also eine Lösung von $$\delta(2|z_0|+1) < \varepsilon \quad (3)$$,
damit ergibt sich der "WIESO???"-Teil.
Und damit ergibt sich auch das verwendete Delta: Es muss kleiner als 1, nach (2), sein und kleiner als der Term in (3).