Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Extrema für x•e^{-1/x²}

Question

Die Aufgabe ist:

Untersuche,an welchen Stellen die Funktion

$$ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, x \mapsto \begin{cases} x \exp \left(-\frac{1}{x^2}\right) &, x\neq 0 \\ 0 &, x=0 \end{cases}$$

stetig und wo sie differenzierbar ist.Bestimme,wo existent,die Ableitung.Finde alle lokalen und globalen Extrema der Funktion.

Ich bedanke mich bei Rückmeldung.

Comments

Als Formel erscheint bei mir

f:IR\quad \longrightarrow \quad IR\quad ,\quad x\quad \mapsto \quad \begin{ cases } xexp\left( -\frac { 1 }{ { x }^{

Bitte eine für mich lesbare Formel einstellen.

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Ich habe den Code korrigiert.
@Dante112: Richtig so? Schau dir am besten mal meinen TeX-Code an, wie man solche Funktionen eingibt. Dein Code sah furchtbar aus. ;-)

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Ja es sah furchtbar aus ,irgendwie hat es nicht geklappt,ich weiß nicht warum,aber so ist es richtig,danke schön :)

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Das Problem war, dass du am Anfang und Ende der cases-Umgebung folgendes geschrieben hast: \begin{ cases } ... \end{ cases

Da dürfen keine Leerzeichen in den geschweiften Klammern stehen und am Ende fehlte eine schließende Klammer. Richtig ist also: \begin{cases} ... \end{cases}

Und dann habe ich wie gesagt noch ein paar Schönheitskorrekturen gemacht. ;-)

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Achso,das wusste ich nicht :/ Vielen Dank :)

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Wie heißt die Funktion ?
1 oder 2 ?
Oder noch anders ?

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\(\exp(x)=e^x\)

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Die erste Funktion,also $$x.{ e }^{ \left( -\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } }  \right)  }$$.

Answer 1

Hier meine Berechnungen

Hier der Graph im bereich um x = 0

Die Funktion ist bei x = 0 stetig.

Diff-barkeit
Ob die Funktion im Punkt x = 0 eine Steigung hat weiß ich nicht.
Der linke und rechte Grenzwert der Steigung ist 0(+).

Einen Punkt mit waagerechter Tangente hat die Funktion nicht denn
( 1 + 2 / x^2 ) = 0
-x^2 = 2
keine Lösung
Die Monotonie ist stets positiv.

Über den Punkt x = 0 wird man sich sicherlich noch unterhalten.

mfg Georg

Comments

Bei der Stetigkeit,warum haben Sie als der linksseitige Wert x ungleich 0 ausgewählt? Und Extrema verstehe ich nicht ganz genau.

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Vorbemerkung : hier im Forum wird üblicherweise das " du " verwendet.

Bei der Stetigkeit,warum haben Sie als der linksseitige Wert x ungleich 0 ausgewählt?
Die einzige Stelle bei der die Funktion unstetig sein könnte ist x = 0.
Ich habe sowohl den linkseitigen Grenzwert lim x geht gegen
0(-)  : aus dem negativen kommend
als auch den rechtseitigen Grenzwert lim x geht gegen
0(+) : aus dem positiven kommend
berechnet.

Und Extrema verstehe ich nicht ganz genau.
Extrema heißt 1.Ableitung = 0
Die 1.Ableitung kann nicht 0 werden:
Der Graph zeigt einen Sattelpunkt. Die Steigung des Graphen
ist stets positiv.

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Ich habe gedacht,dass du den rechtseitigen Wert nur mit x=0 und den linkseitigen Wert mit x ungleich 0 gezeigt hast.

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In manchen Mathebüchern steht mitunter für den Grenzwert bei x = 0
lim x −> 0

Ich halte davon nichts. Dem Wert x = 0 kann ich mich von links oder von rechts
nähern.
lim x −> 0(-)
und
lim x −> 0(+)

Wie bekannt kann der linksseitige Grenzwert vom rechtsseitigen Grenzwert
verschieden sein.

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Die Ableitung an der Stelle 0 (falls existent) berechnet man einfach mit der Definition:

\(f'(0)=\lim\limits_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)=0\).

Die Funktion ist also überall differenzierbar (sogar stetig differenzierbar).
Und damit gibt es auch eine Stelle, an der die Ableitung 0 ist. Diese Stelle ist aber kein Extremum.