Aufgabe:
$$ \begin{array}{c} {f: \mathbb{R} \rightarrow R, \text { mit } f(x)=\left\{\begin{array}{ll} {\frac{1}{2} x+b,} & {x \leqslant 1} \\ {{a {x}}^{2}+2,} & {x>1} \end{array}\right.} \end{array} $$
1. \( f(1) = \frac{1}{2} x + b = \frac{1}{2} b \)
2. \( \lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = ax^{2}+2=a(1)^{2}+2=a+2 \)
$$ \lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\frac{1}{2}+b $$
Problem/Ansatz:
Ich soll herausfinden für welche Parameterpaare (a,b) die Funktion auf ganz ℝ stetig ist
Nun wollte ich erstmal auf stetigkeit überprüfen
und habe mit f(1) den links und rechtsseitigen limes untersucht
nur weiß ich noch nicht was a und b sind deshalb wollte ich Sie gleichsetzen, da
linksseitiger = rechtsseitiger Grenzwert gelten muss für die stetigkeit
\( \frac{1}{2} \) x + b = ax²+2
aber ich komme echt nicht darauf wie ich das anstellen soll.
