Hessesche Normalform der Ebene bestimmen

Question

Ich wollte fragen ob mein Lösungsweg stimmt oder nicht?  Das Ergebnis ist halt bei mir negativ, oder wurde alles mit -1 multipliziert?

Aufgabe 4 (6 Punkte) Gegeben seien die Punkte \( A, B, C, D \in \mathbb{R}^{3} \) sowie der Vektor \( v_{\alpha} \in \mathbb{R}^{3} \) wie folgt:
$$ A=\left(\begin{array}{l} {1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \\ {-1} \end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{l} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right), \quad v_{\alpha}=\left(\begin{array}{c} {\alpha} \\ {0} \\ {6} \end{array}\right) $$
(a) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Ebene an, in der \( A, B \) und \( C \) liegen:
$$ x=\left(\begin{array}{l} {1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c} {2} \\ {0} \\ {-1} \end{array}\right), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} $$

(b) Geben Sie die Hessesche Normalform der Ebene aus (a) an:

\( \frac{1}{\sqrt{5}}\left(x_{1}+2 x_{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}} \)

c) Liegen die vier Punkte A, B, C und D in eiger Ebene?

nein

(d) Bestimmen Sie \( \alpha \in \mathbb{R} \) so, dass \( v_{\alpha} \) senkrecht auf der Ebene aus (a) steht.
$$ \alpha=3 $$

 

Comments

Es geht um Aufgabe b).

Answer 1

N = [-2, 1, 1] ⨯ [2, 0, -1] = [-1, 0, -2] = - [1, 0, 2]

In der hessischen Normalform kannst du das denke ich einfach so stehen lassen:

E: (X - [1, 0, 0]) · 1/√5·[1, 0, 2] = 0

[a, 0, 6] = k * [1, 0, 2] --> a = 3 ∧ k = 3