Frage zu Limes Superior und Limes Inferior. a_n < limsup a_n + epsilon für fast alle n. ==>?

Question

Hallo Forum-Miglieder,

was ein ein Limes Superior  bzw. Limes inferior ist, weiß ich eigenlich schon ganz intiutiv: Es ist ja der größte bzw. kleiner Häufungswert einer Folge. Aber mit diesen Begriffen umzugehen fällt mir ziemlich schwer.

Die Definitionen sind ja , dass gelten muss:

$$a_n < limsup \quad a_n \quad + \quad \epsilon$$  bzw.

$$a_n > liminf \quad a_n \quad + \quad \epsilon $$ für fast alle n.

Nun soll ich folgende Aussage beweisen:

Irgendwie verstehe ich jedoch diesen Beweis nicht.... Kan mir da jemand mal helfen. Generell verstehe ich überhaupt gar nicht mal die Menge. Was ist denn mit s_k  gemeint. Ich bin irgendwie total verzweifelt....

LG

Orbi

Comments

Es koennen ja beliebig viele Anfangsglieder machen, was sie wollen. Mit \((s_k)\) werden daher sukzessive immer mehr Anfangsglieder von \((a_n)\)ausgeschlossen. Damit kann man die obere Schranke immer tiefer legen und landet in der Grenze bei \(\lim\sup a_n\). Versuche, es Dir halt mal an einem Beispiel wie \(a_n=(-1)^n+1/n\) klarzumachen, wie das aussieht.

Bei "WIE FOLGT DAS?" wird benutzt: Wenn \(a_n\ge A\) für fast alle \(n\), dann gilt im Falle der Konvergenz \(\lim a_n\ge A\).

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EDIT(Lu) Habe oben beim liminf einen Doppeldollar ergänzt und zudem zwei mal a_n eingeschoben, da limsup und limsup nicht ohne Argument stehen darf.

Kontrolliere, ob das so stimmt, du hast ja unten noch s_n.

Answer 1

Was ist denn mit s_k  gemeint.

s_k ist das supremum aller Folgenglieder, die einen Index n ≥ k haben; man könnte auch sagen,

alle die einen Index < k haben fallen weg.

Mit wachsendem k fallen also immer mehr weg, dadurch kann das Supremum nie größer werden,

sondern bleibt gleich oder wird kleiner: deshalb die Monotonie.

Comments

Vielen Dank mathef. Aber wieso gilt nun dies hier (was meine eigentliche Wissenslücke war....)

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Ich probier mal:

also wenn a_n > h* - eps und n > k ; dann ist ja

dieses a_n mit in der Menge, deren supremum s_k ist,

und weil es für jedes eps so ein an gibt,  kann das supremum

dieser Menge nicht kleiner als h* sein, also sk ≥ h*.