Konvergenz einer Reihe von - unendlich bis + unendlich

Question

Hallo.
Ich möchte die z bestimmen,für die:

$$\sum _{ n\epsilon Z  }^{  }{ \frac { { (z-1) }^{ n } }{ { 2 }^{ n }+{ 6 }^{ n } }  } $$

konvergiert.

Diese Reihe würde ja dann von n= -unendlich bis n= unendlich gehen.

Wie macht man so etwas? Ich finde dazu leider nichts in unserem Skript und auch nichts im Internet.

Jemand Ideen?

Answer 1

Aufspalten: $$\dots=\sum_{n=0}^\infty{(z-1)^n\over2^n+6^n}+\sum_{n=1}^\infty{(z-1)^{-n}\over2^{-n}+6^{-n}}$$ Auch die zweite Haelfte ist mit \(w=(z-1)^{-1}\) eine Potenzreihe. Dann Cauchy-Hadamard benutzen und an \(\lim\sqrt[n]{a^n+b^n}=\max(a,b)\) denken

Comments

Das habe ich auch schon versucht.  Hatte das auch erst in die Frage mit rein geschrieben aber habs dann doch gelöscht,  weil ich dachte das würde mir nichts bringen.  Wie sieht das mit der zweiten Summe aus?  Inwiefern ist das eine potenzreihe? Also substitiueren Konvergenzradius ausrechnen und dann zurücksubstituieren?

Außerdem :

Ich habe doch dann zwei Konvergenzradien.  Die gesamte Reihe konvergiert dann für den kleineren der beiden?

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Rechne es doch erstmal aus, bevor Du Schlussfolgerungen ziehst. Wie sind denn jetzt die Konvergenzradien und was bedeutet das dann für den Konvergenzbereich der zweiten Reihe, wenn w=1/(z-1) ist?

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Das habe ich bereits.

Die erste Reihe konvergiert für |z-1| <6 

Die zweite Reihe für | 1 / ( z-1) | < 1/2 = > |(z-1)| < 2

Die Reihe konvergiert nun für  |(z-1)| < 2 . Ist das richtig?

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Nein. Die zweite Reihe konvergiert für |z-1|>2.

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Oh jo habs Vorzeichen nicht gedreht.
Also konvergiert die Reihe für
2 < | (z-1| <6

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Gratuliere. Reihen der Form \(\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n\) (Laurent-Reihen) konvergieren immer in einer Kreisscheibe \(s<|z-z_0|<r\).

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Danke, hätte ich von Anfang an gewusst,wie die Reihen heißen, wäre das um einiges einfacher gewesen.

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Hier der nächste Teil der Aufgabe,falls jemand helfen möchte:)

https://www.mathelounge.de/253800/integral-uber-summe-berechnen

Zusatz:

Man muss doch noch eine Ausnahme machen: z konvergiert nicht für z = 1 oder? Ich habe im zweiten Integral ja 1/(z-1) als Faktor. Wenn z = 1 wird, so konvergiert die Reihe doch auf keinen Fall. Oder sehe ich das falsch?

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Sei wann ist für z=1 die Bedingung 2<|z-1|<6 erfuellt?

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Ups, hab nichts gesagt. Aber kann so ein Fall theoretisch auftreten? Dass die Reihe für eine Ausnahme nicht konvergiert.

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Wenn eine Laurentreihe konvergiert, dann wie gesagt in einem Kreisring. Ausnahmen mittendrin gibt's wie bei Potenzreihen nicht. Ist doch mit der Herleitung oben klar. Die Reihe ueber die nichtnegativen Indizes ist eine Potenzreihe in z (konvergiert für |z|<r), die Reihe ueber die negativen Indizes ist eine Potenzreihe in 1/z (konvergiert für |1/z|<1/s oder |z|>s).

Natuerlich kann man Laurentreihen angeben, die ueberhaupt nirgends konvergieren.