Aloha :)
Nach dem Quotientenkriterium musst du zeigen, dass \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) kleiner gleich einer festen Zahl \(c\) ist und diese feste Zahl \(c\) muss \(<1\) sein. Es reicht nicht zu zeigen, dass \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1\) gilt.$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(n+1)^2+2(n+1)+5}{(n+1)!}}{\frac{n^2+2n+5}{n!}}=\frac{(n+1)^2+2(n+1)+5}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^2+2n+5}$$$$\phantom{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{(n+1)^2+2(n+1)+5}{n+1}\cdot\frac{1}{n^2+2n+5}$$$$\phantom{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{(n+1)+2+\frac{5}{n+1}}{1}\cdot\frac{1}{n^2+2n+5}=\frac{n+3+\frac{5}{n+1}}{n^2+2n+5}$$$$\phantom{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{n}{n^2+2n+5}+\frac{3}{n^2+2n+5}+\frac{5}{(n+1)(n^2+2n+5)}$$Du kannst nun erkennen, dass mit zunehmendem \(n\) in jedem Bruch der Nenner schneller wächst als der Zähler, das heißt jeder einzelne Bruch wird mit wachsendem \(n\) kleiner. Da die Folge bei \(n=1\) anfängt, können wir eine obere Schranke angeben, indem wir \(n=1\) einsetzen:
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}=\frac{2+6+5}{16}=\frac{13}{16}<1$$Damit ist das Quotientenkriterium erfüllt, die Summe konvergiert.
