Vektor bestimmen, welcher senkrecht zu zwei weiteren Vektoren steht

Question

Die Aufgabe lautet folgendermassen:

Bestimme sämtliche Vektoren der Länge 6, die senkrecht zu a→ (2  1  -2) und b→ (-1  0  4) stehen.

Ich habe die Aufgabe mit dem Kreuzprodukt gelöst und auch die richtige Lösung erhalten.

Gäbe es auch eine Möglichkeit diese Aufgabe mit dem Skalarprodukt zu lösen oder ist dies zu kompliziert?

Answer 1

Ja klar,

Du must dann rechnen \( <a,x> = 0 \), \( <b,x> = 0 \) und \( |x| = 6 \)

Das sind drei Gleichungen für drei Unbekannte.

Comments

Also ich habe folgende Gleichungen aufgestellt:

2x₁ + x₂ - 2x₃ = 0

-x₁         + 4x₃ = 0

√(x₁² + x₂² + x₃²) = 6

Diese habe ich umgestellt in folgende Gleichungen:

4x₁² + x₂² + 4x₃² = 0

x₁²            + 16x₃² = 0

x₁² + x₂² + x₃² = 36

Habe ich möglicherweise beim Umstellen der Gleichungen schon einen Fehler gemacht? Denn wenn ich die Gleichungen ausrechne, erhalte ich ein falsches Resultat.

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Also die ersten beiden Gleichungen sind falsch. Wenn du die Seite quadrieren möchtest, musst du um die komplette Seite Klammern setzen und das dann quadrieren, nicht einfach jeden Summanden einzeln.

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Oh ja natürlich. Aber das wird ja dann viel zu kompliziert..

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Ach wo,

die zweite Gleichung des Ausgangsgleichungssystem mit \( 2 \) multiplizieren und dann erste und zweite Gleichung addieren. Dann hast Du einen Wert \( x_2 \) in Abhängigkeit von \( x_3 \). Das einsetzen in die erste Gleichung ergibt einen Wert für \( x_1 \) in Abhängigkeit von \( x_3 \). Jetzt den Vektor noch auf Länge \( 6 \) bringen und fertig. Ergibt genau das gleiche wie das Kreuzprodukt.

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Vielen Dank, hat geklappt!

Answer 2

Beim Skalarprodukt erhält man ein Skalar, also eine reelle Zahl und somit keinen Vektor.