Integral entlang Kreis über Summe berechnen: f(z):= ∑nϵZ(z−1)^n/(2^n+6^n)

Question

Ich habe die Funktion
f(z): = ∑nϵZ(z−1)^n/(2^n+6^n) 

Ich soll nun folgendes Integral bestimmen:

$$\oint _{ |z|=4 }^{  }{ f(z)\quad dz } $$

Im Aufgabenteil davor musste ich den Konvergenzradius bestimmen:
https://www.mathelounge.de/253694/konvergenz-einer-reihe-von-unendlich-bis-unendlich#c253725

Wie stell ich so etwas an? Hat doch bestimmt was mit dem Konvergenzradius zu tun, sonst wären die Aufgaben nicht gekoppelt.
EDIT(Lu): Klammerung in Funktion gemäss Kommentar ergänzt. 

Comments

Leider ist die Definition von f nicht lesbar.

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Da lief was falsch,bei der Darstellung:
 $$\sum _{ n\epsilon Z  }^{  }{ \frac { { (z-1) }^{ n } }{ { 2 }^{ n }+{ 6 }^{ n } }  } $$

Answer 1

Gestern kam raus, dass die Reihe für 2<|z-1|<6 konvergiert? Liegt da der Kreis |z|=4 drin oder nicht? Falls ja, kann man das Integral ausrechnen, sonst existiert es gar nicht. Zum Ausrechnen kann man gliedweise integrieren. Auch eine Ueberlegung wert ist, ob man nicht genausogut ueber den Kreis |z-1|=4 integrieren kann, dann rechnet es sich leichter.

Comments

Der Kreis |z|=4 liegt drin. Wie genau meinst du Gliedweise? Ich habe doch unendlich viele Glieder da. Wie kann ich mir diese Glieder aufteilen bzw. zusammenfassen?

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So halt: \(\int\sum f_n(x)\,dx=\sum\int f_n(x)\,dx\). Summation und Integration vertauschen. Das nennt man gliedweise Integrieren. Ist bei gleichmaesssiger Konvergenz erlaubt.

Answer 2

z  ------>∫ ( 4,-4 )  z² /2 dz 

=  4² /  2   -  ( (-4)² /2 )  =   16/2  - 16 /2 =  0 !!