Zylindervolumsformel über Integral

Question

Stimmt meine Rechnung? Ich wollte das Zylindervolumen mittels Integral herleiten. Aber irgendwie kommt mit der Vorgang etwas komisch vor. Ich habe den Radius als Konstante betrachtet und nach x integriert...

Answer 1

Hi,

warum kommt dir der Vorgang komisch vor? Du hast also den Weg über das Rotationsvolumen gewählt. Das einzige was falsch ist, ist deine 3. Zeile. Dort steht bereits die Stammfunktion also hat das Integralzeichen an dieser Stelle nichts mehr zu suchen.

Besser (3. Zeile):

$$ V = \pi \left [ r^2x\right ]^h_0 $$

Gruß

Answer 2

Die Reihe wäre

f ( x ) = r

A ( x ) = [ f ( x ) ]^2 * π
A ( x ) = r^2 * π

Stammfunktion :  ∫ A ( x ) dx = ∫ r^2 * π dx = r^2 * π * x

V =  [ π * r^2 * x ] ₀^h = r^2 * π * h

Comments

Welche Reihe?

---

Als meine Reihenfolge bei der Berechnung von Rotationskörpern
bezeichne ich
- Ermittelung des Funktionswert  f ( x )
- Ermittlung der Fläche  A ( x )
- Aufstellung der Stammfunktion
- Volumenermittlung V ( x )  falls die Integrationsgrenzen auch angegeben.

---

Seltsame Vorgehensweise. Die Fläche ist doch immer die Kreisfläche und die allgemeine Formel lautet daher
$$ V = \pi\cdot\int_{a}^{b}\left(f(x)\right)^2\,\text{d}x $$

---

Ja, und das ist genau das gleiche, wie es Georg gemacht hat.

---

Ja, nur umständlicher! Hier würde ich einfach
$$ V_\text{Zylinder} = \pi\cdot\int_{0}^{h}r^2\,\text{d}x = \Bigl[r^2\cdot x\Bigr]^h_0 = r^2\cdot h $$schreiben.

Schließlich bestet die Aufgabe ja nicht darin, die Integralvolumenformel für Rotationskörper zu begründen, sondern sie anzuwenden.

---

@jd136
Schließlich besteht die Aufgabe ja nicht darin, die Integralvolumenformel für
Rotationskörper zu begründen, sondern sie anzuwenden.

Ich empfehle einmal den Fragetext zu lesen.

Stimmt meine Rechnung? Ich wollte das Zylindervolumen mittels Integral herleiten.
Aber irgendwie kommt mit der Vorgang etwas komisch vor.

Der Fragesteller will also die Formel zur Volumenberechnung eines Zylinders
mit Hilfe der Integralrechung selbst herleiten und hat dabei Schwierigkeiten.