Ableitung der Funktion f(x)= e^{ax} über den Differentialquotienten

Question

Aufgabe:

Ich soll die Funktion \( f(x)=e^{ax} \) über den Differentialquotieneten und nicht über die Kettenregel ableiten.

Dass das Endergebnis \( a·e^{ax} \) ist, weiß ich. Nur leider komme ich nicht auf den Rechenweg.

Answer 1

Der Differentialquotient für f(x) = e^ax ist folgendermaßen definiert:

$$f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^{a(x+h)} - e^{ax}}{h} \\ = e^{ax} \lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^{ah}-1}{h}$$

Definiere jetzt n = 1/(e^ah - 1), sodass der Grenzwert h→0⁺ mit n→∞ korrespondiert.

Es ist nun einfach, h als Funktion von n zu berechnen:

$$h = \frac{1}{a} \ln(1+1/n)$$

und dieses Ergebnis in den Differentialkoeffizienten einzusetzen:

$$f'(x)= e^{ax} \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\frac{n}{a} \ln(1+\frac{1}{n})} \\ = a e^{ax} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{ \ln\left(\left[1+\frac{1}{n}\right]^n\right)}$$

wobei das Logarithmusgesetz a*ln(x) = ln(x^a) verwendet wurde.

Da der Logarithmus stetig ist, solange sein Argument nicht gegen 0 geht, können wir den Grenzwert ins Argument des Logarithmus ziehen und die bekannte Formel $$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$$ sowie $$\ln(e) = 1$$

benutzen und finden
$$f'(x) = a e^{ax}$$

Comments

Perfekt, dankeschön! Ich bin irgendwie von ax + h ausgegangen, so macht das gleich viel mehr Sinn.