Ableitung mithilfe der Definition des Differentialquotienten

Question

Aufgabe: Berechnen sie die Ableitung an der Stelle x₀ mit Hilfe der Definition des Differentialquotienten.

Wie gehe ich vor? Habe die "Grundgleichung" mir notiert, weiß aber nicht wir und wo ich was einsetzen soll. Eine Schritterklärung würde mir helfen.8

Answer 1

Aloha :)

Anstatt \(x\to x_0\) laufen zu lassen, ist es oft einfacher, \(x=x_0+h\) zu setzen und dann \(h\to0\) laufen zu lassen. Im Ergebnis läuft dann \(x=x_0+h\) auch gegen \(x_0\), man kann aber viel einfacher rechnen:

$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$Anstelle von \(x_0\) kann man bei der \(h\)-Methode einfach auch \(x\) schreiben, weil man ja nicht mehr zwischen \(x\) und \(x_0\) unterscheiden muss. Für deine Aufgaben bedeutet dies:

$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{\left[(x+h)^3-2(x+h)^2+1\right]-\left[x^3-2x^2+1\right]}{h}$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-2(x^2+2xh+h^2)+1-x^3+2x^2-1}{h}$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3-4xh-2h^2}{h}$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\left(3x^2+3xh+h^2-4x-2h\right)=3x^2-4x$$

Bei der nächsten Aufgabe kannst du ausnutzen, dass: \(\frac{x}{x-1}=\frac{x-1+1}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}\)

$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{1+\frac{1}{x+h-1}-\left(1+\frac{1}{x-1}\right)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{1}{x+h-1}-\frac{1}{x-1}}{h}$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{x-1}{(x+h-1)(x-1)}-\frac{x+h-1}{(x+h-1)(x-1))}}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{(x-1)-(x+h-1)}{(x+h-1)(x-1)}}{h}$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{-h}{(x+h-1)(x-1)}}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{-1}{(x+h-1)(x-1)}=-\frac{1}{(x-1)^2}$$

Comments

Vielen Dank!

Noch eine kleine Frage für mein Verständnis, wie kommst du von der 4. Zeile zu 3x² - 4x?  In der 4. Zeile hast du ja durch h geteilt, weshalb überall ein h wegfällt doch was passiert danach?

LG

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Nach dem Kürzen mit h, wird nirgendwo mehr durch h geteilt, also kann man den Grenzwert \(h\to0\) bilden, indem man für h den Wert 0 einsetzt. Man könnte auch sagen, dass durch Einsetzen von \(h=0\) der Grenzwert berechnet wird.

Answer 2

Du ersetzt einfach f(x) und f(x0) indem du dort den Funktionsterm einsetzt. Ich habe statt x0 mal a genommen.

y = x^3 - 2·x^2 + 1

m = (f(x) - f(a)) / (x - a)

m = (x^3 - 2·x^2 + 1 - (a^3 - 2·a^2 + 1)) / (x - a)

m = (x^3 - 2·x^2 + 1 - a^3 + 2·a^2 - 1) / (x - a)

m = x^2 + x·(a - 2) + (a^2 - 2·a)

m = x^2 + a·x - 2·x + a^2 - 2·a

für den Grenzwert a → x ergibt sich damit

y' = x^2 + x·x - 2·x + x^2 - 2·x

y' = 3·x^2 - 4·x

Comments

@mc

Die Übergang von der 4. zur 5. Zeile soll wohl das gemeine Fußvolk verblüffen?

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Du meinst die stupide Anwendung der Polynomdivision?

Ich glaube das verblüfft keinen mehr oder doch?

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Du meinst die stupide Anwendung der Polynomdivision?

Ich glaube das verblüfft keinen mehr oder doch?

 Bei mir an der Schule wird die Polynomdivision gar nicht gelehrt. Demnach würde es Leute aus meiner Schule verblüffen.

Gruß

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Die Polynomdivision ist auch im Leistungskurs aus dem Lehrplan verschwunden. Ich habe die Wahl, sie trotzdem nebenbei zu zeigen oder die Zeit stattdessen dafür zu nutzen, eklatante Wissenslücken aus der Sekundarstufe 1 zu schließen.

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Das ist aber nicht überall so. In meinem Mathe-LK gilt folgende Parole:

"Das wird den hessischen Schülern zwar nicht mehr zugetraut, aber wir machen es trotzdem"

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Bei der h-Methode benötigt man keine Polynomdivision, um die Ableitung einer Potenzfunktion zu berechnen.

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Das ist ja richtig, aber der binomische Satz  ist AUCH aus den Lehrplänen verschwunden. Das Ausmultiplizieren von (a+b)³ ist somit ebenfalls zu einem für die meisten Schüler unüberwindlichen Hindernis geworden.

In etlichen Kultusministerien sitzen an wichtigen Schaltstellen zweifelhafte Personen, die voll auf Computeralgebrasysteme setzen (weil man sich von denen ja so leicht solche Ergebnisse anzeigen lassen kann). Die Verwendung solcher Systeme hat aber meist den "unerheblichen" Kollateralschaden, dass die Mehrzahl der betroffenen Schüler dann GAR NICHTS MEHR selbst kann.

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@abakus

der binomische Lehrsatz ist halt nicht leicht heuristisch herzuleiten bzw. der Beweis, der meines Wissens über vollständige Induktion läuft, ist nun wirklich nicht trivial.

Das Pascalsche Dreieck soll an manchen Schulen noch dabei sein, ansonsten könnte man doch \((a+b)^3=(a+b)^2\cdot (a+b)\) schreiben. Das geht mindestens bis zum vierten Grad noch gut.

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ansonsten könnte man doch (a+b)³=(a+b)²⋅(a+b) schreiben.

DAS habe ich heute in meinem Leistungskurs gemacht. Von 16 haben es 3 (mit unterschiedlichem Erfolg) versucht, selbst in Angriff zu nehmen.

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Sowohl Polynomdivision als auch binomischer Satz können notfalls umschifft werden durch den Ansatz (f(x) - f(a)) / (x-a)  =  g(x)  mit einem Polynom g dessen Grad eins unter dem von f liegt, beidseitigem Multiplizieren mit (x-a) und Koeffizientenvergleich.

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Hast du die bisherige Diskussion ernsthaft gelesen????

Nicht vorhandenes Wissen bezüglich Polynomdivision und binomischem Satz umschiffen mit einen ganz speziellen Ansatz und Koeffizientenvergleich?
Das macht es natürlich für die Schüler superleicht.

Welche Farbe hat eigentlich das Zaumzeug von deinem Einhorn?

Wir reden hier von harter Realität.

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ganz speziellen Ansatz

Der Ansatz ist nicht spezieller als die bisher vorgeschlagenen Methoden, hat aber z.B. den Vorteil, auch Integrale der Form  ∫ p(x)·e^kx dx  mit Polynomfunktionen p ohne n-malige partielle Integration lösen zu können.

Das macht es natürlich für die Schüler superleicht.

Dieser Satz aus der Praxis widerspricht deinen übrigen Ausführungen.

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@abakus,

du gehst noch zur Schule? Oder Lehrpersonal?

DAS habe ich heute in meinem Leistungskurs gemacht. Von 16 haben es 3 (mit unterschiedlichem Erfolg) versucht, selbst in Angriff zu nehmen.

Das hätte ich nicht erwartet.

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Der Ansatz

kam nicht von mir sondern vom Fragesteller. Also würde ich annehmen das sowas wenigstens einmal als Beispiel im Unterricht gemacht worden ist.

Generell wird meist im Unterricht wenigstens mal ein Beispiel gerechnet oder die Schüler werden gebeten sich ein Beispiel im Schulmaterial durchzulesen und bei Bedarf dazu fragen zu stellen.

Ich habe jetzt noch nicht geprüft wie die von mir empfohlene App Photomath mit dem Term umgeht. bzw. wie die App das Umformen erklärt.

Hätte oben der Ansatz für die h-Methode gestanden hätte ich auch die h-Methode bevorzugt.

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Das macht es natürlich für die Schüler superleicht.

Sogar Sheldon hätte gemerkt, dass das Sarkasmus war.

;-)