Wie berechnet man die Ableitungsfunktion von f mithilfe des Differentialquotienten?

Question

Aufgabe:

Wie berechnet man die Ableitungsfunktion von f mithilfe des Differentialquotienten?

1. f(x)= -1+x+x^2/4

2. f(x)= 1/x           x0=1

Answer 1

Bei 2 etwa so: ( f(xo+h) - f(xo) ) / h

           =  ( 1/(1+h) - 1/1 )   / h    Zähler zu einem Bruch machen

           =   (  ( 1 - (1+h) )  / h  )    / h

              = (  -h   / (1+h ) ) / h

              =  -h   / ((1+h )*h )   h kürzen

             = 1- / (1+h)   für h gegen 0 ergibt sich also f ' (1) = -1 .

Answer 2

Aloha :)

Du musst den Differenzenquotienten so umformen, dass du das \(h\) im Nenner kürzen kannst:$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(-1+(x+h)+\frac{(x+h)^2}{4})-(-1+x+\frac{x^2}{4})}{h}$$$$\quad=\frac{h+\frac{(x+h)^2}{4}-\frac{x^2}{4}}{h}=\frac{h+\frac{x^2+2xh+h^2}{4}-\frac{x^2}{4}}{h}=\frac{h+\frac{2xh+h^2}{4}}{h}$$$$\quad=\frac{h}{h}+\frac{2xh+h^2}{4h}=1+\frac{2x+h}{4}$$Jetzt kannst du den Grenzwert bequem bilden:

$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(1+\frac{2x+h}{4}\right)=1+\frac{x}{2}$$

Nach dem gleichen Prinzip funktioniert die nächste Ableitung:$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}=\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}=\frac{x-(x+h)}{hx(x+h)}$$$$\quad=\frac{-h}{hx(x+h)}=\frac{-1}{x(x+h)}$$$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{-1}{x(x+h)}=-\frac{1}{x^2}$$