berechnen Sie die Steigung der Tangente h an der Stelle 0 mithilfe des Differentialquotienten

Question

Aufgabe:

h(x) =\( \frac{ x-1+cos(x)}{exp(x)-1} \)

berechnen Sie die Steigung der Tangente h an der Stelle 0 mithilfe des Differentialquotienten

nicht wundern die Funktion ist an der 0 eigentlich gar nicht definiert aber man musste in der vorherigen Aufgabe die stetige Fortsetzung an der Stelle 0 berechnet. Da bin ich auf f(0)=1 gekommen. Mit dem Differentialquotient komme ich hier aber echt nicht weiter

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Mittlerweile (nachdem ich schon recht viel Zeit und Mühe investiert habe) ist mir gar nicht mehr so klar, ob du uns überhaupt die originale Aufgabenstellung angegeben hast. Um welche Funktion ging es denn zuallererst ?

Du gibst zwar einen Funktionsterm h(x) an, sprichst dann aber von der "Tangente h" .

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Text erkannt:

(e) Berechnen Sie die Steigung der Tangente von \( h \) an der Stelle 0 mit Hilfe des Differentialquotienten und der Potenzreihenmethode.

Sorry, Tangente VON h. Das ist die Aufgabenstellung und h(x) ist richtig aufgeschrieben.

Answer 1

Suchst du $$f'(0) = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\quad\dfrac{ x-1+\cos(x)}{\exp(x)-1}-1\quad}{x-0}$$ für die stetig ergänzte Funktion f?

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Ja ganz genau. Und das so umzuformen damit man später für x 0 einsetzen kann fällt mir schwer.

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Nun solltest du den Kosinus als Potenzreihe entwickeln.

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Ahhh jetzt versteh ich mir war nicht klar dass ich Differentialquotient inklusive Potenzreihenmethode anwenden sollte. Jetzt ergibt es natürlich Sinn, danke!

Answer 2

Die Ableitungsfunktion h'(x) lässt sich mit den Ableitungsregeln (mit Quotientenregel) hinschreiben. Das ist zwar etwas kompliziert, aber nicht wirklich schwierig.

Natürlich ist h'(x) für x=0  auch nicht definiert, aber immerhin der Grenzwert von h'(x) für x gegen 0 .

Die damit ermittelte "Tangente" ist dann natürlich auch höchstens die Tangente an die stetige Ersatzkurve, die man durch die "Lückenfüllung" an der Stelle x=0  aus der ursprünglichen Funktion h erzeugt hat.

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dankeschön aber es geht explizit darum mit der Definition des Differentialquotienten zu lösen und nicht mit Quotientenregel oder ähnlichem. Hast du dazu vielleicht eine Idee?

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Der Ausdruck "Differentialquotient" ist für mich gleichbedeutend mit "Ableitung". Deshalb dachte ich, die Anwendung der Ableitungsregeln sei zugelassen.

Was du möchtest, ist aber offenbar eine Grenzwertrechnung ausgehend von den Differenzenquotienten !

Das geht natürlich auch. Wir legen also zunächst mal eine Sekante aus dem (Lücken-) Punkt P₀ (0 | 1) durch einen daneben liegenden Punkt P_k (k | f(k)) .

Diese hat die Steigung  m_k = ( f(k) - 1 ) / k , also

m_k =  ( k + cos(k) - exp(k) ) / [ k · ( exp(k) - 1) ]

(ich habe einen Vereinfachungsschritt schon durchgeführt, um mir etwas Formel-Schreibkram zu ersparen)

So, und nun ginge es also noch darum, den Grenzwert dieses Ausdrucks m_k  für k gegen 0 zu berechnen.  Ich hoffe mal, dass das z.B. mittels l'Hospital geht - nur braucht man dazu leider halt auch wieder Ableitungsregeln ...

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Mit l'Hospital geht das sicher nicht, will man nicht das zu Zeigende bereits als gegeben voraussetzen.

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Ich frage mich aber mittlerweile, ob mathie uns wirklich die Originalaufgabenstellung angegeben hat !

Answer 3

f '(x)=\( \frac{sin(x)-1}{1-e} \)

f '(0)=\( \frac{1}{e-1} \).

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dankeschön aber es geht explizit darum mit der Definition des Differentialquotienten zu lösen und nicht mit Quotientenregel oder ähnlichem. Hast du dazu vielleicht eine Idee?