Ableitung mit Hilfe des Differentialquotienten gesucht

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe des Differentialquotienten, dass die Funktion \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}x^4\) die Ableitung(-sfunktion) \(f(x)=\sqrt{8}x^3\)  besitzt! (Ich komm mit dem manuellen Formel eingeben hier noch nicht so zurecht)

Ich kenne die Formel des Differentialquotienten und habe auch mehr oder weniger verstanden wie man ihn bei einfachen Funktionen (z.B. f(x)=x² ) anwendet. Mit komplizierteren Formeln, wie dieser, bin ich aber leider noch überfordert. Den ersten Schritt des Einsetzen kriege ich denke ich noch hin, ab da bin ich dann aber leider verloren.

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo,

es gilt:$$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(x+h)^4-\frac{1}{\sqrt{2}}x^4}{h}$$$$=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(x+h)^4-\frac{1}{\sqrt{2}}x^4}{h}=\frac{1}{\sqrt{2}}\lim\limits_{h\to 0}\frac{(x+h)^4-x^4}{h} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\lim\limits_{h\to 0}\frac{h^4 + 4 h^3 x + 6 h^2 x^2 + 4 h x^3 + \overbrace{x^4-x^4}^{=0}}{h} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\lim\limits_{h\to 0}(h^3+4h^2x+6hx^2+4x^3)=\frac{4}{\sqrt{2}}x^3=\sqrt{8}x^3$$ Um \((x+h)^4\) auszumultiplizieren, verwende das Pascalsche Dreieck, den Binomischen Lehrsatz oder splitte den Term in \((x+h)^2(x+h)^2\) auf, so dass du die gewohnten binomischen Formeln anwenden kannst und dann ausmultiplizieren kannst.

Comments

Dankeschön für deine schnelle und ausführliche Antwort!

Ich kann alles nachvollziehen, bis auf die letzten zwei Schritte. Wohin verschwindet die 6h²x²? Ich hätte jetzt gedacht in der nächsten Zeile würde dann 6hx² stehen. Und: Multiplizierst du den Bruch am Ende oder dividierst du den? Bei mir kommt nämlich 4\( \sqrt{2} \) raus, wenn ich das in den TR eingebe. Und wenn ich \( \frac{4}{\sqrt{x}2} \) eingebe, zeigt der mir 2\( \sqrt{2} \) an. Dankeschön!

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Hallo,

ja die 6h²x² sind beim Abtippen untergegangen - ist nun korrigiert. Ich habe die 4 im Zähler und die √2 im Nenner, es gilt:$$ \Large 4\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{2^2}{2^{1/2}}=2^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{2^3}=\sqrt{8}$$ Dein TR hat aber auch recht, die Lösung finde ich sogar schöner, denn:$$ \Large \frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{2^2}{2^{1/2}}=2^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{2^3}=\sqrt{2^2\cdot 2}=\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}$$

 Grüße

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Vielen lieben Dank, jetzt hab ich es endlich verstanden!

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Super, freut mich!