Vektorraumhomomorphismus konstruieren

Question

Frage: Gibt es einen IR - Vektorraumhomomorphismus phi: IR^{3} -> IR^{4} mit

phi(0,1,0) = (e^{π},e^{π},e^{π},e^{π}) und

phi(1,0,1) = (e^{π},e^{π},e^{π},π^{e})

Ich dachte an sowas wie:

IR^{3} -> IR^{4} : phi(x_(1),x_(2),x_(3)) |---> (e^{π},e^{π},e^{π}, x_(2)*e^{π} + x_(1)*π^{e})

Gibt es überhaupt so einen VRH? und wenn nicht wie kann man es widerlegen?

Answer 1

Ein VR-Hom. ist durch die Angabe der Bilder einer Basis

festgelegt.

Eine Basis von R^3 ist die Standardbasis (1;0;0) , (0;1;0) (0;0;1)

lege fest

(1;0;0) ----->  (e^π,e^π,e^π;0)

 (0;1;0) ---->  (e^π,e^π,e^π,e^π)

(0;0;1) -----> (0;0;0;π^e)

Dann passt es.