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Seien a, b ∈ ℝ mit a < b und s, t > 0. Zeigen Sie: die Gleichung

s/(x-a) + t/(x-b) = 0

hat genau eine Lösung x im offenen Intervall (a, b).

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s/(x-a) + t/(x-b) = 0      |  *(x-a)(x-b)

s*(x-b) + t*(x-a) = 0

sx - sb + tx - ta = 0

sx+tx = sb+ta

x*(s+t) = sb+ta

x = ( sb+ta ) / ( s+t)           und durch s+t kann man dividieren, da es ungleich 0 ist.

Avatar von 289 k 🚀

Guten Morgen mathef,

Fehlerhinweis

sx - sb + tx - ta = 0

sx+tx = sb - ta

sondern
sx+tx = sb + ta

Danke, werde ich korrigieren.

Man könnte eventuell erwähnen, dass

x = (t·a + s·b)/(t + s)

ein gewichtetes Mittel darstellt und damit im Intervall [a ; b] liegt.

Ach so, den Auftrag zubeweisen, dass die Lösung in (a;b) liegt,

hatte ich ganz überlesen.

Wenn der Hinweis auf das gewichtete Mittel nicht reicht, vielleicht noch so:

x = (t·a + s·b)/(t + s) =  a +  s*(b-a) / (t+s)

= a + (b-a) * s/(t+s)

und da s,t positiv sind, liegt  s/(t+s) zwischen 0 und 1 also

x zwischen a + (b-a)*0   = a

und      a + (b-a)*1  = b    also wirklich x in (a;b).

Hi danke es gibt nur einen Schritt den ich nicht verstehe.

Wie kommt man darauf     (t·a + s·b)/(t + s) =  a +  s*(b-a) / (t+s) 

(t·a + s·b)/(t + s)

(t·a + s·a - s·a + s·b)/(t + s)

(t·a + s·a)/(t + s) + (- s·a + s·b)/(t + s)

= a·(t + s)/(t + s) + s·(b - a)/(t + s)

= a + s·(b - a)/(t + s)

Kannst auch sowas ähnliches wie Polynomdivision machen:

(t·a + s·b)   :  (t + s) =  a +  s*(b-a) / (t+s)
a t   + s t
-------------
          sb - st   ist der Rest bzw.  s*(b-a)

@mathef

"... sowas ähnliches wie Polynomdivision ..."

Ist das nicht exakt die Polinomdivision ?

@ Der_Mathecoach

Na ja, Polynom habe ich mir immer als eine Summe mit Potenzen von x mit

Zahlen als Faktoren vorgestellt.

Irgendwie ist es hier - meine ich - halt nur ähnlich.

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